面積比の裏ワザ5選｜中学受験で使える型と注意点をプロが図解

📋 この記事でわかること

• 面積比の「裏ワザ」5つの式と、それぞれが成り立つ理由
• 図のどこを見れば、どの裏ワザを使うか決まるのか（判断フロー図つき）
• 例題4問で確認する、実際の使い方と検算のしかた
• 裏ワザに頼りすぎたときの落とし穴と、学年別の練習の進め方

📌 この章の内容

「裏ワザ」と聞くと特別な公式を想像するかもしれませんが、実は三角形の面積の公式を言い換えたものです。この章では、面積比の考え方の土台と、中学受験で面積比がよく出る理由を整理します。

🔰 面積比の基本

面積比とは、2つ以上の図形の面積を比で表したものです。面積そのものがわからなくても、辺の長さの比や高さの関係から面積の比を求められるため、中学受験の平面図形で頻繁に使われます。

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。この式のどこか1つが等しければ、残りの比がそのまま面積比になる――これが面積比の裏ワザすべての出発点です。

• 高さが等しい → 面積比＝底辺の比
• 底辺が等しい → 面積比＝高さの比
• どちらも違う → 底辺の比×高さの比

⚖️ 小学校・中学校で習う範囲との違い

文部科学省の学習指導要領では、小学校6年で比や拡大図・縮図を学び（文部科学省「小学校学習指導要領解説」）、「相似な図形の面積比は相似比の2乗」という関係は中学3年の数学で扱う内容とされています（文部科学省「中学校学習指導要領解説」）。

一方、中学受験の算数では、学校の授業より先の内容まで踏み込んだ図形問題がよく見られます。面積比は「長さの比」と「面積」を行き来する力を問えるため、1つの図で複数の考え方を試せるのが出題されやすい理由だと私は考えています。入試問題全体の難しさについては中学受験の問題の出題傾向でも解説しています。

📌 この章の内容

ここでは5つの裏ワザを、式・使える条件・成り立つ理由の3点セットで紹介します。まず一覧表で全体像をつかみ、そのあと1つずつ確認していきましょう。

📊 面積比の裏ワザ5つの一覧

🔍 底辺比

三角形ABCの辺BC上に点Dがあるとき、△ABD：△ADC＝BD：DCです。2つの三角形は頂点Aを共有しているので、高さが同じになるからです。

見た目が細長くても、傾いていても関係ありません。「頂点が同じで、底辺が一直線に並んでいるか」だけを確認します。5つの中で最も使用頻度が高く、残りの4つもこの考え方の応用です。

🔍 隣辺比（りんぺんひ）

三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあるとき、

△ADE：△ABC＝（AD×AE）：（AB×AC）

つまり、共有する角Aをはさむ2辺の比をかけ算すれば、面積比が一度で出ます。呼び名は塾や教材によって異なりますが、考え方は同じです。

成り立つ理由は、底辺比を2回使うことです。△ABC→△ADC（ABに対するADの割合）→△ADE（ACに対するAEの割合）と2段階で縮めたものを、1つの式にまとめています。

🔍 相似比の2乗

形が同じで大きさだけが違う図形（相似な図形）は、相似比がa：bなら面積比はa²：b²です。たとえば相似比2：3なら面積比は4：9になります。

面積は「長さ×長さ」で決まるため、底辺も高さも同じ割合で伸びると、面積はその2乗の割合で増えます。図の中に平行線があれば、相似な三角形（ピラミッド形・ちょうちょ形）が隠れていないかを探すのが定石です。

🔍 台形の対角線

上底a・下底bの台形に2本の対角線を引くと、4つの三角形の面積比は上：左：右：下＝a²：ab：ab：b²になります。上と下の三角形はちょうちょ形の相似（相似比a：b）、左右の三角形は底辺比から求められます。左右の2つが必ず等しくなる点も、検算に使える重要な性質です。

🔍 燕尾形（えんびけい）

三角形ABCの内部の点Pを通る線ADが辺BCとDで交わるとき、BD：DC＝△ABP：△ACPが成り立ちます。ツバメの尾のような形に見えることから「燕尾形」と呼ばれます。

理由は底辺比の引き算です。△ABD：△ACD＝BD：DC、△PBD：△PCD＝BD：DCなので、大きい三角形から小さい三角形を引いた△ABP：△ACPも同じ比になります。3本の線が1点で交わる図では、3つの三角形（△PAB・△PBC・△PCA）の面積比が一気に決まる強力な道具です。

📌 この章の内容

裏ワザを5つ覚えても、図を見たときにどれを使うか決められなければ得点になりません。この章では、型を見分ける判断の順番を図にし、例題4問で実際の使い方を確認します。

🧮 面積比の型を見分ける判断フロー

私は、図を見たら次の順番で「目印」を探すよう指導しています。平行線の有無を最初に確認するのがポイントです。相似が見つかると長さの比が手に入り、それが残りの4つの材料になるからです。

✏️ 例題1（隣辺比）

面積60cm²の三角形ABCで、辺AB上の点DはAD：DB＝2：1、辺AC上の点EはAE：EC＝3：2です。三角形ADEの面積は何cm²ですか。

①と②が一致することが、隣辺比が「底辺比2回分の近道」である証拠です。

✏️ 例題2（相似比の2乗）

面積50cm²の三角形ABCで、辺AB上に点D、辺AC上に点EをDEとBCが平行になるようにとります。AD：DB＝2：3のとき、台形DBCEの面積は何cm²ですか。

相似比をAD：DB＝2：3のまま2乗して「4：9」としてしまうミスは指導の中でもよく見かけるので、相似比は必ず「小さい三角形：大きい三角形」で取ると決めておきましょう。

✏️ 例題3（台形の対角線）

AD∥BC、AD＝3cm、BC＝5cmの台形ABCDの面積が128cm²です。対角線の交点をOとするとき、三角形AOBの面積は何cm²ですか。

✏️ 例題4（燕尾形）

面積60cm²の三角形ABCの内部に点Pがあり、AP・BP・CPの延長がBC・CA・ABとそれぞれD・E・Fで交わります。BD：DC＝2：3、CE：EA＝1：2のとき、三角形PBCの面積は何cm²ですか。

発展：同じ比からAF：FB＝△PCA：△PBC＝3：1、AP：PD＝（△PAB＋△PCA）：△PBC＝5：1も求められます。1つの比から長さの比と面積比を行き来できるのが燕尾形の強みです。

📌 この章の内容

面積比が苦手なお子さんは、どこで止まっているのでしょうか。ここでは、私が指導の中で特に意識して確認しているポイントを紹介します。

📌 この章の内容

裏ワザは便利な一方で、使い方を誤ると逆に失点の原因になります。メリットだけでなく、知っておくべき限界も正直にお伝えします。

🆚 向き不向きの目安

※指導経験にもとづく目安であり、お子さんの状況によって最適な進め方は異なります。

📌 この章の内容

裏ワザを知ったあと、どう練習すれば本番で使えるようになるのでしょうか。ここでは学年ごとの重点と、家庭でできる復習のしかたを紹介します。

📋 練習の進め方（目安）

※学年はあくまで目安です。単元を学ぶ時期は塾の教材によって異なります。受験までの全体の流れは中学受験の学年別ロードマップで確認できます。

🔍 動きのある解説で補う

面積比は、図形を分けたり動かしたりする過程を見ると理解しやすい単元です。紙の解説で納得しきれない場合は、映像授業で解説を見直すのも1つの方法です。中学受験への対応範囲についてはスタサプで中学受験に対応できるかで解説しています。

利用者の声はスタサプ小学講座の口コミ・評判で詳しく解説しています。

❓ よくある質問

Q. 面積比の裏ワザは何年生から使えますか？

A. 高さが同じ三角形の底辺比は、三角形の面積の公式を学んでいれば理解できます。比を使った面積比の問題に本格的に取り組む時期は塾の教材によって異なるため、お通いの塾のカリキュラムで確認してください。

Q. 相似比の2乗は中学で習う内容ですが、中学受験で使ってよいのですか？

A. 学習指導要領では相似な図形の面積比は中学3年の内容ですが、中学受験の算数では相似と面積比を組み合わせた問題が数多く出題され、塾でも扱われています。採点の扱いは学校ごとに異なるため、途中式や考え方を書く形式の学校では、なぜその比になるのかを説明できるようにしておくと安心です。

Q. メネラウスの定理やチェバの定理は覚えるべきですか？

A. 必須ではないと私は考えます。中学受験で出る多くの問題は、相似・底辺比・燕尾形の組み合わせで解けます。基本の型が安定して使えるようになってから、余力があれば検算用の道具として知っておく程度で十分です。

Q. 裏ワザを覚えたのに面積比の問題で点が取れないのはなぜですか？

A. 私の指導経験では、原因の多くは公式の暗記不足ではなく、図のどこを見てどの型を使うかの判断と、複数の比をそろえる連比の処理にあります。解き終わったら使った型の名前と、そう判断した図の特徴を書き添える復習が効果的です。

Q. 家庭で面積比を教えるときのコツはありますか？

A. 答えを教える前に、底辺×高さ÷2のどの部分が等しく、どの部分が違うのかを子ども自身に言わせることです。裏ワザを面積の公式から導けるようになると、条件の違う図形にも対応しやすくなります。