部分分数分解とは？中学受験の公式と解き方を元塾講師が解説

📋 この記事でわかること

• 部分分数分解とは何か、中学受験のどんな問題で使うのか
• 分母の差が1・2以上・3つの積のときの公式と、その確かめ方
• 例題4問で身につける解き方の手順（和に分ける形も含む）
• 元塾講師が見てきたつまずきと、家庭での練習の進め方
• 部分分数分解を使わないほうがよい場面

🔍 この章の内容

「1/(1×2)＋1/(2×3)＋…＋1/(9×10)」を、通分せずに30秒で計算できるでしょうか。この章では、部分分数分解がどんな技法で、中学受験の算数のどこに位置づくのかを整理します。

📌 定義

部分分数分解とは、分母がかけ算になっている分数を、より簡単な2つの分数の差（または和）に分ける計算のことです。たとえば次のように分けます。

1/6 ＝ 1/(2×3) ＝ 1/2 − 1/3

右辺を通分すると 3/6 − 2/6 ＝ 1/6 となり、確かに元に戻ります。1つずつ見ればただの書き換えですが、たくさんの分数を足す問題では、隣り合う分数どうしが打ち消し合い、最初と最後だけが残るという強力な効果を生みます。

📊 学習範囲の比較

小学校の学年配当は文部科学省の学習指導要領に基づきます。部分分数分解そのものは小学校の教科書の範囲を超えた内容で、高校数学の数列で正式に扱う考え方を、中学受験では計算の工夫として先取りしている、と捉えると全体像がつかみやすくなります。

📋 よく見る出題の形

• 計算問題：1/(1×2)＋1/(2×3)＋… のように、分母がかけ算の分数が並ぶ和
• 隠れた形の計算：1/6＋1/12＋1/20＋… のように、分母を積に直さないと気づけない和
• 和に分ける形：5/6、7/12 など、分子が分母の2つの数の和になっている分数の足し引き
• 規則性・数列：並んだ分数の和を求める問題の中で、途中の工程として使う

計算問題の大問1で出ることもあれば、規則性の問題の途中で必要になることもあります。中学受験の問題全体の出題傾向を押さえたうえで、部分分数分解は「計算の引き出しの1つ」として位置づけるのがよいと考えます。

🔍 この章の内容

部分分数分解の公式は、分母の形によって3つに分けると整理しやすくなります。この章では、それぞれの公式と、子どもが自分で正しさを確かめる方法をまとめます。

📌 基本公式

1/(A×B) ＝ 1/A − 1/B　（BはAより1大きい数）

• 1/(2×3) ＝ 1/2 − 1/3
• 1/(4×5) ＝ 1/4 − 1/5
• 1/(9×10) ＝ 1/9 − 1/10

なぜこうなるかは、右辺を通分すると分かります。1/A − 1/B ＝ (B−A)/(A×B) で、BとAの差が1なので分子が1になり、左辺と一致します。

📌 差が2以上の公式

1/(A×B) ＝ 1/(B−A) × (1/A − 1/B)

1/A − 1/B を通分すると分子が「BとAの差」になるため、そのままでは差の分だけ大きくなってしまいます。そこで「1/差」をかけて大きさを戻すのがこの公式の意味です。

📌 3つの積の公式

1/(A×B×C) ＝ 1/(C−A) × {1/(A×B) − 1/(B×C)}

A・B・Cが連続する整数（例：1・2・3）のとき、C−A＝2なので「1/2」をかけます。1つの数ではなく「2つの数の積」の差に分けるのがポイントです。難関校の計算問題で見かける形ですが、まずは2つの積の公式を確実にしてから取り組むのがおすすめです。

例：1/(1×2×3)＋1/(2×3×4)＋…＋1/(8×9×10) は、1/2 × {1/(1×2) − 1/(9×10)} ＝ 1/2 × (1/2 − 1/90) ＝ 1/2 × 44/90 ＝ 11/45 です。残るのが「最初の2数の積」と「最後の2数の積」になる点が、2つの積の場合との違いです。

🔍 この章の内容

公式を知っていても、実際の問題で「ここは分解できる」と気づけなければ得点につながりません。この章では解き方を4つの手順にまとめ、難易度の違う例題4問で練習します。

🔰 解き方の手順

✏️ 例題1

1/(1×2)＋1/(2×3)＋1/(3×4)＋…＋1/(9×10)

それぞれを差に分けると、(1 − 1/2)＋(1/2 − 1/3)＋(1/3 − 1/4)＋…＋(1/9 − 1/10) です。−1/2 と ＋1/2、−1/3 と ＋1/3 …と打ち消し合い、残るのは最初の1と最後の−1/10だけです。

答え：1 − 1/10 ＝ 9/10

✏️ 例題2

1/(1×3)＋1/(3×5)＋1/(5×7)＋…＋1/(19×21)

分母の2つの数の差はどれも2なので、全体に1/2をかけます。

1/2 × {(1 − 1/3)＋(1/3 − 1/5)＋…＋(1/19 − 1/21)} ＝ 1/2 × (1 − 1/21) ＝ 1/2 × 20/21

答え：10/21

ここで「1/2をかける」を最後まで覚えておけるかが分かれ目です。手順②で式の先頭に「1/2×」と先に書いてしまうのがおすすめです。

✏️ 例題3

1/6＋1/12＋1/20＋1/30＋1/42

分母を見ると、6＝2×3、12＝3×4、20＝4×5、30＝5×6、42＝6×7 と、連続する2つの数の積になっています。

(1/2 − 1/3)＋(1/3 − 1/4)＋…＋(1/6 − 1/7) ＝ 1/2 − 1/7

答え：5/14

6・12・20・30・42・56・72・90 といった数を見たら「連続する2数の積かも」と反応できるよう、九九の延長として覚えておくと気づきやすくなります。

✏️ 例題4

3/2 − 5/6 ＋ 7/12 − 9/20 ＋ 11/30

分子が分母の2つの数の和になっているときは、(A＋B)/(A×B) ＝ 1/A ＋ 1/B と「和」に分けられます。3/2＝1＋1/2、5/6＝1/2＋1/3、7/12＝1/3＋1/4、9/20＝1/4＋1/5、11/30＝1/5＋1/6 です。

(1＋1/2) − (1/2＋1/3) ＋ (1/3＋1/4) − (1/4＋1/5) ＋ (1/5＋1/6) ＝ 1＋1/6

答え：7/6

差に分ける形と和に分ける形を混同しないよう、分子が「差」なのか「和」なのかを最初に確認する習慣をつけましょう。

🔍 この章の内容

部分分数分解は「習ったその日は解ける」のに、数週間後のテストで使えなくなりやすい単元です。この章では、私が指導の中で繰り返し見てきたつまずきと、その対処法をお伝えします。

❓ この章の内容

保護者の方や受験生からよく受ける質問をまとめました。

❓ Q&A

難関校・上位校を目指す場合は、計算問題や規則性の問題で使う場面があるため身につけておきたい技法です。一方で、出題傾向によっては優先度が下がるため、志望校の過去問で分数の和を求める問題が出ているかを確認してから力を入れると効率的です。

❓ Q&A

小学校の教科書では扱わない発展的な内容です。中学受験塾では、分数の計算に慣れた後に高学年の計算や規則性の単元で扱われることが多いですが、時期は塾やカリキュラムによって異なります。

❓ Q&A

1/A−1/B（Aは小さいほうの数）を計算すると、分子に「BとAの差」が出てきます。そのため、分けた差に「1/差」をかけて調整します。例えば1/(3×5)は1/2×(1/3−1/5)です。

❓ Q&A

分けた式を通分して元に戻すのが確実です。1/3−1/4を通分すると1/12となり、1/(3×4)と一致すれば分解は正しいと確認できます。

❓ Q&A

使います。高校数学の数列の単元で、和を求める方法として同じ考え方が扱われます。中学受験で身につけた考え方は、その先の学習にもつながります。

❓ Q&A

分子が分母の2つの数の和になっている場合は、5/6=1/2+1/3のように和に分けられます。分子が2つの数の差と等しい場合は、2/(3×5)=1/3−1/5のように調整なしで差に分けられます。

🔰 3ステップ練習