中学受験の食塩水問題の解き方｜面積図とてんびん図を元塾講師が解説

📋 この記事でわかること

• 食塩水の濃度の3つの公式と、その意味
• 中学受験で出る食塩水問題の5パターン
• 面積図・てんびん図・ビーカー図の違いと使い分け
• 水を加える・蒸発・食塩を加える・やりとり問題の解き方
• 子どもがつまずきやすいミスと、家庭でできる練習の順番

📌 この章のポイント

「10%の食塩水」と聞いて、食塩が何gか即答できますか？ 食塩水の問題は、すべてここから始まります。この章では濃度の定義と3つの公式、そして中学受験で出る問題の全体像を整理します。

🔍 濃度の定義

食塩水の濃度とは、食塩水全体の重さに対して、食塩の重さがどれだけの割合を占めるかを百分率（%）で表したものです。食塩水の重さは「水＋食塩」の合計で、水だけの重さではない点がポイントです。

例：8%の食塩水250gの食塩は 250×0.08＝20g、水は 250−20＝230g です。

📊 学校で学ぶ時期との関係

現行の小学校学習指導要領（平成29年告示・文部科学省）では、算数の「割合」と「百分率」は5年生、「比」は6年生の内容です。「質量パーセント濃度」という言葉自体は、中学1年の理科（水溶液）で学びます。

つまり中学受験の食塩水は、学校より先に、割合・百分率・比を同時に使う単元です。難しく感じるのは当然で、つまずいた場合は食塩水そのものより、割合の理解に戻るほうが近道になることが多いです。算数全体の学年別の進め方は中学受験算数の学年別勉強法で詳しくまとめています。

📋 パターンと「変わらないもの」一覧

※表は筆者が作成した整理です。

📌 この章のポイント

塾によって「面積図派」「てんびん図派」と教え方が分かれますが、実は3つの図は同じ関係を別の角度から描いたものです。ここでは同じ例題を3通りで解き、違いと使い分けを示します。

🔢 例題1：6%の食塩水300gと12%の食塩水200gを混ぜると何%？

食塩は 42÷500×100＝8.4%。ビーカー図は縦に「食塩水・濃度・食塩」を並べる表と同じで、どんなパターンにも使える万能型です。ただし、混ぜる量を逆算する問題では計算が重くなります。

🔍 面積図の読み方

面積図は、たてを濃度、横を食塩水の重さにした長方形で、面積がそのまま食塩の重さになります。混ぜた後の濃度の線を引くと、薄い方で「足りない」面積と、濃い方で「余る」面積が必ず等しくなります。図で見ると、なぜ平均の濃度が6%と12%のちょうど真ん中（9%）にならないのかも一目でわかります。

🔢 てんびん図の手順と逆算の例

逆算の例題2：4%と10%の食塩水を混ぜて6%の食塩水を600g作るには、それぞれ何g必要？
うでの長さは 6−4＝2 と 10−6＝4 で 1：2。重さはその逆比 2：1 なので、4%が 400g、10%が 200g（検算：16g＋20g＝36g、36÷600＝6%）。逆算はてんびん図の得意分野です。

🆚 ビーカー図・面積図・てんびん図の比較

3種類を混ぜる例：3%の食塩水100g・5%の食塩水200g・8%の食塩水200gを混ぜると、食塩は 3＋10＋16＝29g、食塩水は500gなので 5.8%。てんびん図だと2段階になるため、3種類以上はビーカー図や面積図で食塩を合計するほうが速く確実です。

📌 この章のポイント

水を足す、蒸発させる、食塩を足す、容器の間で移す。操作が増えるほど混乱しがちですが、変わらないものを1つ決めれば計算は1〜2行で終わります。

🔢 例題3：8%の食塩水300gを12%にするには、水を何g蒸発させる？

食塩は 300×0.08＝24g で、蒸発しても変わりません。12%で食塩24gになる食塩水は 24÷0.12＝200g。よって 300−200＝100g 蒸発させます。

水を加えて薄める問題も同じで、食塩の重さを固定して「薄めた後の食塩水の重さ」を逆算します。

🔢 例題4：10%の食塩水180gに食塩を加えて25%にするには、何g加える？

解き方A（水に注目）：水は 180×0.9＝162g で変わりません。25%の食塩水では水が75%なので、全体は 162÷0.75＝216g。加える食塩は 216−180＝36g。

解き方B（てんびん図）：食塩を「100%の食塩水」とみなすと、10%と100%を混ぜて25%にする問題になります。うでの長さは 15：75＝1：5、重さは逆比で 5：1 なので、180÷5＝36g。

🔢 例題5（やりとり）：容器Aに10%の食塩水200g、容器Bに4%の食塩水300g。AからBへ100g移してよく混ぜ、次にBからAへ100g戻すと、Aは何%？

検算：Bに残る食塩は 22−5.5＝16.5g。A・Bの合計 15.5＋16.5＝32g は、最初の 20＋12＝32g と一致します。

🔢 例題6（くみ出し）：10%の食塩水200gから50gくみ出し、水を50g入れる。これを2回くり返すと何%？

1回の操作で食塩は「残った150g分」、つまり 150/200＝3/4 になります。濃度も3/4倍になるので、1回目 10×3/4＝7.5%、2回目 7.5×3/4＝5.625%。くり返し問題は「毎回同じ割合が残る」と気づけば、かけ算だけで解けます。

📌 この章のポイント

食塩水の失点は、難問よりも基本のミスから起きることがほとんどです。指導の中で繰り返し見てきたつまずきと、テクニックに頼りすぎることの注意点をまとめます。

🛡️ 答えの範囲チェック

• 混ぜる問題：答えが元の2つの濃度の間にあるか
• 水を加える問題：濃度が下がっているか
• 蒸発・食塩を加える問題：濃度が上がっているか
• やりとり問題：食塩の合計が最初と同じか

🔍 家庭で教えるのが難しいと感じたら

割合の土台からやり直す必要がある場合は、塾の授業だけでは時間が足りないこともあります。個別に教わる選択肢を考えるなら、中学受験で家庭教師が必要なケースで、どんな場合に個別の指導が役立つかを確認できます。

塾・家庭教師など指導形態ごとの違いは、学習塾・家庭教師の比較ランキングで比べてから判断してください。

📌 この章のポイント

食塩水は、いきなり応用問題に進むより、割合の土台から順番に積み上げるほうが結果的に早く伸びます。塾のカリキュラムの時期は塾ごとに異なるため、ここでは「段階」で整理します。

🔰 最初に確認したいこと

• 「○gの△%は何g？」を即答できるか
• %と小数・歩合（割・分）を言い換えられるか
• 「もとにする量」と「比べられる量」を区別できるか

ここが不安定なまま食塩水に進むと、図をかいても数字を入れる場所がわかりません。

📋 家庭でできる練習ステップ

🧭 入試レベルへのつなぎ方

入試では、食塩水が単独で出るだけでなく、グラフ問題や比の問題と組み合わさって出ることもあります。志望校で割合の問題がどれくらい出ているかは、過去問の始める時期と復習法を参考に、過去問で確認するのが確実です。

受験学年までの全体の流れは中学受験の学年別ロードマップで確認できます。

❓ よくある質問への回答

保護者の方や受験生からよく寄せられる疑問に、Q&A形式でお答えします。

❓ 習う時期

学校の算数では、割合と百分率を5年生、比を6年生で学びます（平成29年告示の小学校学習指導要領）。中学受験塾での扱い時期はカリキュラムによって異なるため、通っている塾の年間予定で確認してください。

❓ 図の選び方

どちらも同じ関係を別の形で表したものなので、最終的には両方使えるのが理想です。私は、まず面積図で「食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度」という意味をつかみ、慣れてきたら2つの食塩水を混ぜる問題をてんびん図で速く解く、という順番をおすすめしています。

❓ 逆比の理由

混ぜたあとの濃度を基準にすると、薄い方で足りない食塩の量と、濃い方で余っている食塩の量が等しくなるからです。例えば6%の食塩水300gと12%の食塩水200gを混ぜると8.4%になり、300×2.4＝720、200×3.6＝720で一致します。この「足りない分＝余る分」をてんびんのつり合いで表したのがてんびん図です。

❓ 方程式の使用

答えだけを書く形式であれば、どの方法で解いても得点は変わりません。途中式を書かせる学校で文字式がどう評価されるかは、採点基準が公表されていないことが多く、一律には言えません。不安な場合は塾の先生や学校説明会で確認し、普段は面積図やてんびん図で解く練習をしておくと安心です。

❓ 家庭での教え方

公式を先に教えるより、「この問題で食塩は何gあるか」を子ども自身に言わせることが近道です。親が中学で習った方程式で解き方を示すと、塾で習う図の解き方と混ざって混乱することがあるため、塾のテキストと同じ図を使って一緒に確認するのがおすすめです。

❓ 苦手なままの場合

志望校の出題傾向によります。食塩水そのものが出なくても、割合や比の考え方は速さや売買損益など他の単元にもつながるため、「食塩の重さを求める」基本問題だけは確実に解けるようにしておくことをおすすめします。志望校の過去問で割合の問題がどれくらい出ているかを確認すると、優先順位を決めやすくなります。