中学受験の図形の移動｜5パターンの解き方を元塾講師が解説

📋 この記事でわかること

• 図形の移動の5つの出題パターンと、それぞれの解き方
• 円の回転数・中心の軌跡・通った部分の面積の求め方
• 元塾講師が見てきた「失点する子」の共通点と対処法
• 学年・時期ごとの学習の進め方と、家庭でのサポート方法

🔍 この章の概要

「図形の移動」とひとくちに言っても、問われる内容はパターンによってまったく違います。まずは全体像をつかみ、お子さまがどのパターンでつまずいているのかを切り分けるところから始めましょう。

📌 図形の移動の定義

中学受験算数の図形の移動とは、三角形・四角形・円などの図形を「すべらせる」「回す」「転がす」などして動かし、動いた距離、点が通った線の長さ、図形が通った部分の面積、重なった部分の面積などを求める単元です。おうぎ形の弧の長さ・面積の計算を土台に、図形の動きを頭の中や紙の上で再現する力が問われます。

📊 図形の移動の5パターン

⚖️ 学習指導要領との関係

平行移動・対称移動・回転移動という「図形の移動」は、文部科学省の学習指導要領では中学校1年生の数学（平面図形）で扱う内容です。小学校で学ぶのは6年生の「対称な図形（線対称・点対称）」までで、円を転がす問題などは学校の授業ではほとんど扱われません。

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ここからはパターンごとに、例題を使って解き方の手順を説明します。どのパターンでも共通するのは、「どの点に注目するか」を最初に決めることです。例題の円周率はすべて3.14とします。

📌 例題：正方形が長方形を通過する

1辺4cmの正方形が、縦4cm・横10cmの長方形に向かって秒速1cmで右へ進みます。正方形の右の辺が長方形の左の辺に重なった瞬間を0秒とすると、重なる部分の面積は次のように変化します。

• 0〜4秒：重なりの横の長さが毎秒1cmずつ増える（面積＝4×秒数）
• 4〜10秒：正方形が完全に入り、面積は16cm²で一定
• 10〜14秒：正方形が出ていき、面積が毎秒4cm²ずつ減る

出典：著者作成の例題による計算値

📌 通った部分の面積の考え方

図形が1点を中心に回転するとき、図形が通った部分は「中心から最も遠い点」がえがく大きなおうぎ形から、「中心から最も近い点」がえがく小さなおうぎ形を除いた形が基本になります。最も遠い点を見落とし、目についた頂点で半径をとってしまうのが典型的なミスです。

🧮 例題：半円を回転させたときの色部分

直径ABが12cmの半円を、点Aを中心に45度回転させます。回転前の半円・回転後の半円・Bが通ったおうぎ形で囲まれた色部分の面積は、次の考え方で求められます。

このように、形の違う部分を同じ面積の部分に置きかえて考える方法を等積移動といいます。回転移動では「回転前と後の図形は合同」なので、この発想が非常によく使えます。

📌 正方形の回転で√を使わずに解く技

1辺4cmの正方形を頂点を中心に90度回すと、反対側の頂点は対角線を半径とする円の一部を描きます。対角線の長さは小学生には出せませんが、正方形の面積＝対角線×対角線÷2なので「対角線×対角線＝16×2＝32」と分かります。おうぎ形の面積は半径×半径しか使わないため、32×3.14×90÷360＝25.12cm²と求められます。半径そのものではなく「半径×半径」を出すという発想は、中学受験の図形で繰り返し使う重要な技です。

📌 円が転がるときの3つの原則

• 円の中心は、転がる相手の線から常に半径の距離を保って動く
• 相手の図形の角では、中心はおうぎ形の弧をえがく（外側を回るとき）
• 円の回転数＝中心が動いた距離÷転がる円の円周

🧮 例題：半径1cmの円が長方形の外側を1周

出典：著者作成の例題による計算値

🆚 外側を回るときと内側を回るときの違い

たとえば同じ大きさの硬貨の外側を1周させると、回転数は（1＋1）÷1＝2回転です。直感では「1回転」と答えやすいため、入試でもよく問われます。

🧮 例題：半径1cmの円が長方形の内側を1周

縦6cm・横8cmの長方形の内側を、半径1cmの円が辺に沿って1周する場合です。

• 中心が動いた長さ：中心は縦4cm・横6cmの長方形をえがくので、（4＋6）×2＝20cm
• 円が通った部分の面積：長方形全体48cm²から、中央の通らない長方形（2cm×4cm＝8cm²）と、四隅に残る部分（1×1−1×1×3.14÷4＝0.215cm²が4つ＝0.86cm²）を引いて、48−8−0.86＝39.14cm²

出典：著者作成の例題による計算値

📌 例題：正三角形が直線上を転がる

1辺6cmの正三角形ABCが、直線の上をすべらずに転がり、頂点Aが再び直線上に戻るまでの間にAが動いた長さを求めます。

出典：著者作成の例題による計算値

📌 点の移動の解き方

長方形の辺の上を点Pが一定の速さで進み、三角形の面積が変化する問題です。ポイントは、点Pがどの辺にいるかで「底辺」と「高さ」のどちらが変化するかを区別することです。

• 高さだけが一定の割合で変わる区間 → 面積も一定の割合で変わる（グラフは直線）
• Pが底辺と平行な辺の上を進む区間 → 高さが変わらず面積は一定（グラフは水平）

グラフから長方形の辺の長さを逆算する問題も多く、平行移動と同じくグラフの折れ目＝点が角を曲がった瞬間と読み取るのが鍵です。

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解き方を知っていても本番で点が取れない子には、いくつか共通した行動パターンがあります。ここでは私が指導の現場で繰り返し見てきた傾向と、その対処法をお伝えします。

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図形の移動は、おうぎ形の計算が土台になる単元です。どの時期に何を固めるかを知っておくと、焦らずに準備できます。受験全体のスケジュールは学年別の中学受験ロードマップで確認できます。

📋 学年・時期ごとの目安

※塾によってカリキュラムの順序・時期は異なります。通塾先の進度を優先してください。

⚖️ 学習方法ごとの向き不向き

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良かれと思って取り入れた勉強法が、かえって図形の移動の得点を下げることがあります。よくある落とし穴を3つ紹介します。

❓ よく寄せられる疑問

保護者の方や受験生から実際によく聞かれる疑問にお答えします。

❓ 回答

扱う時期は塾ごとに異なりますが、円の面積やおうぎ形を学んだ後の小5〜小6で本格的に扱うのが一般的です。おうぎ形の弧の長さと面積を正確に計算できることが前提になるため、先にそこを固めておくと理解がスムーズです。

❓ 回答

丸暗記はおすすめしません。「円の回転数＝中心が動いた距離÷転がる円の円周」という1つの考え方を理解すれば、外側・内側・多角形の周りのどのパターンにも対応できます。公式だけ覚えると、条件が少し変わった問題で崩れやすくなります。

❓ 回答

おうぎ形が複数出てくる問題では、3.14をかけずに「□×3.14」の形のまま足し引きし、最後に1回だけかけるのが効率的です。計算量が減り、計算ミスも起きにくくなります。

❓ 回答

図形の移動については、センスより「途中の様子を何枚も図にかく」練習量の影響が大きいと考えます。動きを数コマに分けて作図する習慣がつくと、正答率が上がるケースは多く見られます。

❓ 回答

答えを説明する前に、硬貨や厚紙で作った図形を実際に動かして、中心や頂点がどこを通るかを子ども自身に確かめさせるのが有効です。ただし最終的には紙の上で作図できることが目標なので、模型は理解の入口として使いましょう。プロに任せる選択肢については中学受験で家庭教師が必要なケースで解説しています。

❓ 回答

考え方の理解には役立ちますが、図形の移動は自分で作図する演習が欠かせません。映像授業を使う場合も、視聴後に同じ問題を何も見ずに作図から解き直す時間を必ず確保してください。映像授業で受験対策がどこまでできるかはスタサプでの中学受験対策の実力で詳しく検証しています。

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最後に、苦手を克服するために今日から始められる練習の手順をまとめます。1日1問でも続けることで、作図の手が自然に動くようになります。

🧭 練習の手順

📋 この記事の内容が特に役立つ人・合わない人