等差数列の中学受験対策｜3つの公式と頻出パターンを元塾講師が解説

📋 この記事で解決できること

• 等差数列とは何か、初項・公差・末項の意味
• N番目・何番目・和を求める3つの公式と、その成り立ち
• 入試でよく見る出題パターンと解き方の手順
• 子どもがつまずきやすいポイントと、家庭でできる学習ステップ

📌 この章のポイント

「3, 7, 11, 15, …」と並んだ数を見て、次の数がすぐ言えますか。この章では、等差数列という言葉の意味と、入試で使う3つの公式を一覧で確認します。まずは全体像をつかみましょう。

🔍 等差数列の定義

等差数列とは、隣り合う数の差がいつも同じになっている数の並びのことです。たとえば「3, 7, 11, 15, …」は、どこをとっても差が4なので等差数列です。

🧮 3つの公式と計算例（数列：3, 7, 11, 15, …）

2行目の式は、末項を「その数」と読めば「初項から末項までの個数」を求める式としてもそのまま使えます。

📊 学校の授業との関係

「等差数列」という名前と公式は、小学校の算数の教科書には出てきません。文部科学省の学習指導要領（平成30年告示の高等学校学習指導要領）では、数列は高校の数学Bで扱う内容とされています。

一方、中学受験では「規則性」と呼ばれる分野の中心テーマとして、塾のカリキュラムで早い段階から扱われます。つまり、学校の授業だけでは触れない内容を、小学生のうちに使いこなす必要があるという点が、この単元の難しさの根っこにあります。

📌 この章のポイント

なぜ「N」ではなく「N−1」なのか、なぜ最後に「÷2」をするのか。この2つを説明できるかどうかが、公式を“使える知識”にできるかの分かれ目です。図を使って順に確認します。

🔍 「N−1」になる理由

数を木、公差を「木と木の間の長さ」と考えると、1番目からN番目までに「間」はN−1個しかありません。だから、初項に公差を（N−1）回足すとN番目の数になります。

作図：筆者（数値は本文の例題による計算値）

🔍 「÷2」になる理由

同じ数列を逆向きに並べて上に重ねると、どの列も高さが「初項＋末項」でそろった長方形になります。長方形の面積は（初項＋末項）×個数で、そのちょうど半分が求めたい和です。

作図：筆者（1目盛り＝10px。数値は計算値）

🔢 例題と解き方

問題：3, 7, 11, 15, …と続く数列について、(1) 20番目の数、(2) 1番目から20番目までの和を求めなさい。

• (1) 間の数は20−1＝19個。3＋4×19＝79
• (2) 初項3、末項79、個数20。（3＋79）×20÷2＝820

(2)は(1)の答えを末項として使っています。私が指導で扱ってきた問題でも「N番目を求める→和を求める」の2段階で問われる形が目立ちます。そのため、2つの式をつなげて使う練習をしておくと安心です。

📌 この章のポイント

入試では「等差数列の公式を使いなさい」とは書かれていません。問題文の中から等差数列を見つけ出し、どの式を使うかを自分で判断する力が問われます。代表的な3パターンと、似ている数列との見分け方を整理します。

🔍 割り切れるかどうかがカギ

3, 7, 11, …に103は含まれるでしょうか。（103−3）÷4＝25で割り切れるので含まれ、25＋1＝26番目です。

では100はどうでしょう。（100−3）÷4＝24あまり1で割り切れないため、100はこの数列に含まれません。「あまりが出たら含まれない」という判定は、公式の意味を理解していればすぐに気づけます。

🔢 隠れた等差数列を見つける

問題：1から200までの整数のうち、7で割ると3余る数の個数と和を求めなさい。

• 該当する数は3, 10, 17, …と公差7の等差数列になる
• 末項は200以下で最大のもの。7×28＋3＝199
• 個数：（199−3）÷7＋1＝29個
• 和：（3＋199）×29÷2＝2929

「倍数」「余り」と書かれた問題は、数を3〜4個書き出すと等差数列だと見抜けるケースが多いです。入試問題全体の傾向は中学受験の問題の難しさと出題傾向でも解説しています。

🔍 図形の問題も「差」で見る

マッチ棒で正方形を横一列につなげて作ると、正方形1個で4本、2個で7本、3個で10本…と1個増えるごとに3本ずつ増えます。初項4・公差3の等差数列です。

• 正方形20個に必要な本数：4＋3×（20−1）＝61本
• マッチ棒100本で作れる正方形の数：（100−4）÷3＋1＝33個（ちょうど100本を使い切る）

図形の問題では、最初の数個を実際にかいて本数を数え、差が一定かを確かめてから公式に入るのが安全です。

🧮 定番の2問

• 1から100までの和：初項1・末項100・個数100の等差数列。（1＋100）×100÷2＝5050
• 1から19までの奇数の和：1, 3, 5, …, 19は公差2で個数10。（1＋19）×10÷2＝100

奇数の和は「1から数えてN個足すとN×N」になります（10個なら10×10＝100）。この性質は正方形の図形問題とも結びつくため、和の公式で確かめたうえで覚えておくと便利です。

🆚 似ている数列との比較

階差数列の例では、10番目＝1＋（1＋2＋…＋9）＝1＋45＝46です。「差の和」の部分で等差数列の和の公式を使うため、等差数列は他の規則性の問題を解くための部品にもなっています。

📌 この章のポイント

お子さんに等差数列をどう教えればいいか、どこまで家庭で見ればいいか迷う方も多いはずです。この章では、家庭で取り組める手順と、外部のサポートを検討する目安を紹介します。

📋 家庭学習の手順

📊 学年ごとの重点

学年は塾のカリキュラムによって前後するため、ここでは「段階」で示しています。過去問に入る時期と進め方は中学受験の過去問の使い方で詳しく解説しています。

⚖️ 外部サポートの選び方

家庭で4ステップを試しても同じミスが続く場合や、保護者が教える時間を取れない場合は、外部のサポートを検討してもよいタイミングです。目的によって向いている手段は異なります。

• 単元の解説を何度も聞き直したい：映像授業。中学受験での使いどころはスタサプで中学受験は可能かの検証で解説しています
• つまずきの原因を個別に見てほしい：家庭教師や個別指導。必要性の判断基準は記事末尾の関連記事で紹介しています

❓ この章のポイント

保護者の方や受験生からよくいただく質問に、Q&A形式でお答えします。

📋 この学習法が向いている人・向いていない人