正六角形の面積の求め方｜中学受験で使う比の解法を元講師が図解

🔍 この記事でわかること

「正六角形の面積って、どうやって出すの？」「解説を読んでも補助線の引き方がわからない」とお悩みではありませんか。この記事では、次の疑問を順に解決します。

• 正六角形の面積を「正三角形6個分」で考える理由
• 1辺の長さだけでは面積が出せない理由
• 三角形ACE・中点を結んだ六角形・星形など、頻出図形の面積比一覧
• 例題を使った解き方の手順
• つまずきやすいポイントと、家庭での練習の進め方

読み終えるころには、どんな形に切られた正六角形でも「まず正三角形に分ける」という最初の一手が自然に出るようになることを目指しています。

📋 この章のポイント

正六角形の問題を前にしたとき、最初に何をすればよいでしょうか。答えは「中心と6つの頂点を結ぶ」ことです。この章では、その理由と、中学受験で前提になる正六角形の基本性質を整理します。

📌 正六角形の面積の基本

正六角形の面積は、中心と6つの頂点を結んでできる合同な正三角形6個分の面積です。中心のまわりの360°が6等分されて1つの角が60°になり、中心から頂点までの長さがすべて等しいため、6個の三角形はすべて正三角形になります。

中学受験ではこの正三角形1個分を「①」や「1」とおき、正六角形全体＝6として、求めたい部分が正三角形何個分かを数えるのが基本の解き方です。

📊 押さえておきたい基本データ

正多角形は、文部科学省の学習指導要領で小学校5年生の内容とされています。中学受験の塾では、扱う学年や順序は塾ごとに異なります。

📋 この章のポイント

正六角形の問題は、図形の切り方こそ多彩ですが、出てくる面積比のパターンはある程度決まっています。正六角形全体を6としたときの主な図形の面積を、一覧表と図にまとめました。

🔢 正六角形ABCDEF（全体＝6）の面積比一覧

頂点は時計回りにA・B・C・D・E・Fとしています。数値は筆者が図形の分割で導き、座標計算で検算したものです。三角形A・(CDの中点)・Eは、全体6から三角形AEF(1)・四角形ABC(CD中点)(2)・三角形(CD中点)DE(0.5)を引いて2.5と求められます。

📊 図解：正三角形6個への分割と面積比

🔍 辺の中点が出てきたら24分割

辺の中点を使う問題では、6個の正三角形をさらにそれぞれ4つの小さな正三角形に分け、正六角形全体＝24と考えると数えやすくなります。たとえば「各辺の中点を結んだ正六角形」では、6つの角に頂角120°の二等辺三角形が残ります。この三角形は、小さな正三角形2個でできたひし形のちょうど半分なので、面積は小さな正三角形1個分です（形は正三角形ではない点に注意）。全体24から6個分を除いて24−6＝18、つまり全体の4分の3と求められます。

🔍 大きな正三角形との関係

正三角形の各辺を3等分し、3つの角を小さな正三角形として切り落とすと、正六角形が残ります。大きな正三角形は小さな正三角形9個分、切り落とすのは3個分なので、残る正六角形は9−3＝6個分、つまり元の正三角形の3分の2です。正六角形を「大きな正三角形の一部」として見る視点も、入試では役立ちます。

📋 この章のポイント

一覧表の比を、実際にどう使うのかを例題で確認しましょう。いずれも中学受験でよく見る形を、私が指導用に作り直した問題です。

🧮 例題1　面積36cm²の正六角形ABCDEFで、三角形ACEの面積は？

答え：18cm²（全体のちょうど半分）

🧮 例題2　面積36cm²の正六角形の各辺の中点を結んだ正六角形の面積は？

答え：27cm²（全体の4分の3）

🧮 例題3　面積36cm²の正六角形で、三角形ACEと三角形BDFを重ねた星形の面積は？

答え：24cm²（全体の3分の2）

📋 この章のポイント

正六角形は、理解している子とそうでない子の差が大きく出る単元です。ここでは、私が指導の中で繰り返し見てきたつまずき方と、その対処を正直にお伝えします。

📋 この章のポイント

正六角形は、正しい手順で練習すれば短期間で安定して得点できるようになる単元です。家庭でできる練習の順番と、つまずきが続くときの選択肢を紹介します。

🔰 家庭での練習手順

⚖️ 状況別の選択肢

正六角形に限らず平面図形全体でつまずいている場合は、学年別の算数の勉強法から見直すのが近道です。そのうえで、家庭だけで補いきれない場合の選択肢を整理しました。

映像授業を検討する場合は、スタサプで中学受験にどこまで対応できるかを確認してから判断することをおすすめします。

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❓ この章のポイント

保護者の方や受験生からよく聞かれる疑問に、Q&A形式でお答えします。

❓ Q＆A

A. 小学校の算数には正六角形専用の面積公式はありません。中心と6つの頂点を結んで合同な正三角形6個に分け、「正三角形1個分×6」と考えるのが基本です。中学受験では、正三角形1個分を「1」とおいて面積比で解く問題が中心です。

❓ Q＆A

A. 中学以降の数学（平方根）を使えば求められますが、小学校の算数の範囲では正三角形の高さが整数や分数で表せないため、通常は求められません。そのため中学受験では、正六角形全体や一部の面積が問題文で与えられ、それを手がかりに比で求める形式が一般的です。

❓ Q＆A

A. 内角の和は180°×(6−2)=720°、1つの内角は720°÷6=120°です。中心と頂点を結んでできる三角形は、中心の角が360°÷6=60°の正三角形になります。

❓ Q＆A

A. 9本です。1つの頂点から引ける対角線は、自分と両隣を除いた3本で、6頂点×3本÷2（同じ線を2回数えるため）=9本になります。長い対角線3本と短い対角線6本に分かれます。

❓ Q＆A

A. 頻出の比（三角形ACEは全体の2分の1、隣り合う3頂点の三角形は6分の1など）は覚えておくと時間短縮になります。ただし、正三角形6個または24個に分ける考え方で自力で導けることが前提です。丸暗記だけだと、図が少し変わった問題に対応できません。

❓ Q＆A

A. まずは何も見ずに正六角形を書き、中心から頂点へ線を引いて正三角形6個に分ける作業を繰り返すことをおすすめします。次に、三角形ACEが全体の半分になる理由を自分の言葉で説明できるようにし、そのうえで面積が与えられた基本問題に進むと定着しやすくなります。