ダイヤグラムの中学受験算数｜書き方と相似の解法を元塾講師が解説

📋 この記事でわかること

「旅人算は線分図で解けるのに、ダイヤグラムが出てきた途端に手が止まる」「塾の解説で急に三角形の相似が出てきてついていけない」――そんな声は、中学受験の算数指導をしていると本当によく耳にします。

• ダイヤグラムとは何か、線分図とどう使い分けるか
• グラフの傾き・交点・水平線などの読み方ルール
• 白紙から書けるようになる5ステップと例題
• 難関校で差がつく「相似」と「比」の使い方
• つまずきやすい失敗例と、家庭での練習法

読み終えるころには、速さの問題を見たときに「グラフにすべきか」「どこに相似が隠れているか」を自分で判断できる状態を目指します。

🔰 この章の内容

「ダイヤグラム」という言葉は知っていても、そもそも何のためのグラフなのかを説明できるお子さんは多くありません。まずは定義と、中学受験の中でどの単元に位置づくのかを整理します。

📌 ダイヤグラムの定義

ダイヤグラムとは、横軸に時間（時刻）、縦軸に距離（地点）をとり、人や乗り物の動きを線で表したグラフのことです。もともとは鉄道の運行表（列車ダイヤ）を図にしたものが語源で、中学受験の算数では「進行グラフ」と呼ばれることもあります。

1本の線が「誰が・いつ・どこにいたか」を表すため、複数の人の動きを1枚の図にまとめられるのが最大の特徴です。

🏢 学校と塾での扱いの違い

文部科学省の小学校学習指導要領（平成29年告示）では、速さは第5学年、比例のグラフは第6学年で扱う内容です。ただし、旅人算をダイヤグラムで解く方法は学校の教科書の中心ではなく、主に中学受験塾のカリキュラムで扱われる受験算数の技術です。

塾では速さの基本を学んだあと、旅人算・通過算・流水算などの応用単元や、グラフの読み取り問題の中で登場するのが一般的です。具体的な学年・時期は塾によって異なるため、通っている塾のカリキュラム表で確認してください。中学受験全体のどの時期に何を固めるかは、学年別の中学受験ロードマップで整理しています。

🆚 線分図とダイヤグラムの比較

どちらが上というわけではなく、時間の流れが複雑になるほどダイヤグラムが有利になると考えてください。

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グラフが問題に与えられている場合、最初にやるべきは「線の形を言葉に翻訳すること」です。ここでは、どの問題にも共通する読み方のルールを一覧にします。

📊 ダイヤグラムの読み方一覧

🧮 グラフから速さを読み取る方法

グラフが与えられた問題では、線の上の2点を選び、速さ＝縦の変化（進んだ道のり）÷横の変化（かかった時間）で求めます。目盛りがちょうど交わる点を選ぶと計算ミスを防げます。

たとえば下の図①の兄の線は、0分で0m、30分で2400mの地点を通るので、2400÷30＝分速80mと読み取れます。

🔍 2つの基本形を図で確認

旅人算の2大パターンである「出会い」と「追いつき」は、ダイヤグラムにすると形がはっきり分かれます。出会いは「×」の形、追いつきは同じ側から出た2本の線が交わる形です。次の章の例題をそのまま図にしたものなので、数値と見比べてください。

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入試では、グラフが与えられず文章だけで出題されることも少なくありません。ここでは文章題を自分でダイヤグラムにする手順と、基本の例題2問を紹介します。

📋 書き方の5ステップ

❓ 例題1

A地点とB地点は2400m離れています。兄は分速80mでAからBへ、弟は分速120mでBからAへ、同時に出発しました。2人が出会うのは出発から何分後で、A地点から何mの地点ですか。

🧮 解き方

グラフでは兄の線（右上がり）と弟の線（右下がり）が「×」の形で交わります。交点までに2人が進んだ道のりの合計が2400mなので、

• 2400÷（80＋120）＝12（分後）
• 80×12＝960（m）→ 12分後、A地点から960m

この問題は線分図でも同じ速さで解けます。ダイヤグラムの練習としては、まず「線分図で解けた問題をグラフでも表せる」ことを確認する段階です。

❓ 例題2

弟が分速60mでA地点を出発しました。その10分後、兄が分速100mでA地点から弟を追いかけました。兄が弟に追いつくのは、兄が出発してから何分後で、A地点から何mの地点ですか。

🧮 解き方

グラフでは、兄の線が弟の線より「10分右」から始まり、より急な傾きで追いかけて交わります。兄が出発した時点で、弟はすでに60×10＝600m先にいます。この差が1分ごとに100−60＝40mずつ縮まるので、

• 600÷40＝15（分後）
• 100×15＝1500（m）→ 兄の出発から15分後、A地点から1500m

グラフを書くと「横に10分ずれている」「その時点の縦の幅が600m」という情報が目で見てわかるため、どこから計算を始めればよいか迷いにくくなります。

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ダイヤグラムが本当に力を発揮するのは、具体的な速さや距離が与えられず「比」で考えさせる問題です。ここでは、上位校の速さの問題でよく使われる考え方を紹介します。

⚖️ 比の基本関係

同じ道のりを進むとき、速さの比と、かかる時間の比は逆比になります。たとえば速さの比が2：3なら、同じ道のりにかかる時間の比は3：2です。

ダイヤグラム上では、同じ縦の幅（同じ道のり）を進むのにかかる「横の長さ」が時間なので、この逆比の関係を図の中で直接確かめられます。

❓ 例題3

PはA地点からB地点へ、QはB地点からA地点へ同時に出発しました。2人が出会ってから、PはB地点まであと16分、QはA地点まであと9分かかりました。2人が出会ったのは出発から何分後ですか。

🧮 解き方

出会うまでの時間を□分とします。図を見ると、次の2つが同じ道のりであることがわかります。

• Pが出会うまでの□分で進んだ道のり＝Qが出会った後の9分で進んだ道のり
• Qが出会うまでの□分で進んだ道のり＝Pが出会った後の16分で進んだ道のり

同じ道のりなら時間の比は速さの逆比なので、P：Qの速さの比は「9：□」とも「□：16」とも表せます。この2つが等しいので、□×□＝9×16＝144となり、□＝12（分後）です。このとき速さの比はP：Q＝9：12＝3：4になります。

塾や問題集によっては、補助線を引いて三角形の相似で説明することもあります。ただ、私は小学生にはまず上の「同じ道のりなら時間は逆比」という考え方をすすめています。補助線を自分で思いつく必要がなく、どの問題にも同じ手順で使えるからです。

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保護者の方や受験生からよく受ける質問をまとめました。

❓ 回答

A. 学校の算数では、速さは小学5年生、比例のグラフは小学6年生で学びます。ダイヤグラムという名前で旅人算をグラフに整理する解き方は、主に中学受験塾のカリキュラムで扱われます。学年や時期は塾ごとに異なるため、通っている塾のカリキュラムで確認してください。

❓ 回答

A. 登場人物が2人で、同時に動き出して1回出会うだけの問題なら線分図で十分です。出発時刻がずれる、途中で止まる、往復する、3人以上が動くなど、時間の流れが複雑な問題ではダイヤグラムのほうが整理しやすくなります。

❓ 回答

A. 文章だけの速さの問題でも、出発時刻のずれや往復がある場合は自分でダイヤグラムを書くと状況を整理しやすくなります。ただし単純な問題では書く時間がかえってロスになるため、問題の複雑さで使い分けることをおすすめします。

❓ 回答

A. ダイヤグラムは正確な作図より、傾きの大小や交点の位置関係がわかれば十分です。普段からフリーハンドで素早く書く練習をしておくと試験本番でも対応しやすくなります。入試当日に持ち込める用具は学校ごとに異なるため、各校の募集要項で確認してください。

❓ 回答

A. まずは速さ・時間・道のりの関係と、単純な出会い算・追いつき算を線分図で解けるかを確認します。そのうえで、すでに解けた問題をグラフに書き直し、傾き・交点・水平線が何を表すかを言葉で説明できるようにすると、無理なくダイヤグラムに移行できます。

📋 ダイヤグラム練習が向いている人・まだ早い人