ヒポクラテスの三日月を中学受験向けに解説｜解き方と出題3パターン

📋 この記事でわかること

• ヒポクラテスの三日月とは何か、なぜ三角形と面積が等しくなるのか
• 小学生の知識だけで面積を求める4ステップ
• 中学受験で見かける3つの出題パターンと見抜き方
• つまずきやすいポイントと、家庭でできる練習方法

読み終えるころには、お子さんに「なぜ三角形と同じ面積になるのか」を数値で説明できるようになるはずです。

🔰 この章のポイント

三日月のような曲線で囲まれた図形の面積が、なぜ直線だけの三角形と同じになるのでしょうか。この章では、その不思議な性質の中身と、中学受験の算数でどの単元に当たるのかを整理します。

📌 定義

ヒポクラテスの三日月とは、直角三角形の3辺をそれぞれ直径とする半円を描いたとき、斜辺側の大きな半円からはみ出す2つの三日月形（月形）の面積の和が、もとの直角三角形の面積と等しくなるという図形の性質です。名前は、紀元前5世紀ごろの古代ギリシャの数学者キオスのヒポクラテスに由来します。

数学史の詳細は、英国セント・アンドルーズ大学の数学史資料MacTutor「Hippocrates of Chios」（英語）で確認できます。

🔍 図で見る仕組み

下の図は、直角をはさむ2辺が3cmと4cm、斜辺が5cmの直角三角形でつくったヒポクラテスの三日月です。2つの小さな半円の面積の合計と、斜辺の大きな半円の面積がぴったり同じになるため、差し引きで三角形の面積だけが残ります。

式にすると、三日月①＋②＝（半円3cm＋半円4cm＋三角形）－半円5cmです。小さな半円の合計と大きな半円が打ち消し合うので、三角形の面積3×4÷2＝6cm²だけが残ります。

📊 単元の位置づけ

ヒポクラテスの三日月は、平面図形の中でも「円と多角形の組み合わせ図形の面積」に当たります。文部科学省の学習指導要領では円の面積は小学6年生で学ぶ内容ですが、中学受験の塾のカリキュラムは学校の進度とは別に組まれているため、具体的な時期は塾ごとに異なります。

算数全体の中でこの単元がどこに位置するかは、学年別の算数の勉強法とあわせて見ると全体像がつかみやすくなります。

🔰 この章のポイント

三日月の面積は、三日月だけを直接求めようとすると手が止まります。ここでは、どの問題にも使える4つの手順と、数値で確かめる方法を紹介します。

📋 解き方の手順

🧮 数値で確かめる

計算の工夫として、半円の部分を（1.5×1.5＋2×2－2.5×2.5）×3.14÷2とまとめると、かっこの中が0になり、小数の計算をしなくても答えが6だとわかります。

🔰 この章のポイント

テキストで見た図と模試で出た図の形が違い、戸惑ったことはありませんか。ヒポクラテスの三日月は、直角三角形の形だけで出るとは限りません。ここでは、構造が同じ3つのパターンを整理し、図を見てどのパターンかを判断する目安を示します。

📌 基本型

前の章で扱った形です。直角三角形の3辺の長さ（または直角をはさむ2辺）が与えられ、2つの三日月の面積の和を問われます。答えは直角三角形の面積なので、3辺の長さがすべてわかっていなくても、直角をはさむ2辺がわかれば求められます。

📌 四角形型

円にぴったり入る正方形や長方形の4辺を直径として外側に半円を描くと、円からはみ出す4つの三日月の面積の和は四角形の面積と等しくなります。四角形の対角線で2つの直角三角形に分ければ、基本型が2つ並んでいるのと同じ構造です。

たとえば対角線10cmの正方形なら、正方形の面積は10×10÷2＝50cm²です。4つの半円の合計（78.5cm²）と円（半径5cm、78.5cm²）が打ち消し合い、三日月4つの和も50cm²になります。

📌 応用型

三日月の片方だけの面積を問う、三角形の一部に別の図形が重なっている、といった形です。この場合も、まず「三日月の和＝三角形」を使える部分を切り出し、残りを別に足し引きするのが基本の流れになります。片方の三日月だけを問われた場合は、もう片方の三日月の面積を別に求めて引く必要があるため、条件として何が与えられているかを先に確認します。

例外的に解きやすいのが直角二等辺三角形の場合です。左右対称なので2つの三日月は同じ面積になり、片方の三日月＝三角形の面積の半分で求められます。直角をはさむ2辺が6cmなら、三角形は6×6÷2＝18cm²、三日月1つは9cm²です。

入試問題全体の難しさや出題傾向は、中学受験の問題の難しさと出題傾向で解説しています。

🆚 3パターンの比較

📋 練習の流れ

⚖️ 学習手段の比較

映像授業だけで中学受験を進められるかは、スタサプで中学受験ができるかの検証で詳しく解説しています。

🔍 補足

図形の基礎から復習したい場合は、スタサプ小学講座の実際の評判も判断材料になります。一対一で見てもらう選択肢を検討している方は、中学受験で家庭教師が必要なケースをご覧ください。

❓ よくある質問

保護者の方や受験生から寄せられやすい疑問をまとめました。

❓ Q&A

A. 別人です。三日月の図形を研究したのは古代ギリシャの数学者キオスのヒポクラテス（紀元前5世紀ごろ）で、「医学の父」と呼ばれるコスのヒポクラテスとは同時代の別の人物です。

❓ Q&A

A. 解けます。直角三角形の辺の長さが数値で示されていれば、半円の面積を円周率3.14で実際に計算して足し引きすれば、三平方の定理を使わずに答えを確かめられます。

❓ Q&A

A. 円の面積は学習指導要領では小学6年生の内容ですが、中学受験の塾のカリキュラムは学校の進度とは別に組まれているため、時期は通っている塾のカリキュラムで確認してください。円の面積の公式と、図形の足し引きで面積を求める考え方が身についてから取り組むのがよいと考えます。

❓ Q&A

A. 基本型なら答えは出ますが、三日月の一部が隠れている応用型や正方形・長方形型では通用しにくくなります。「全体の図形から余分な部分を引く」という手順で導けるようにしておくことをおすすめします。

❓ Q&A

A. ヒポクラテスの三日月は、曲線で囲まれた図形の面積を直線図形の面積と等しく示せた最古級の例として知られ、円と同じ面積の正方形を作図する円積問題の研究につながりました。円積問題そのものは1882年にリンデマンによって作図不可能であることが証明されています。

❓ Q&A

A. 成り立ちません。斜辺を直径とする半円が三角形の3つ目の頂点を通るのは、その角が直角のときだけです。また、直角でない三角形では2つの小さな半円の合計と大きな半円の面積が等しくならないため、三日月の和と三角形の面積は一致しなくなります。