n進法の中学受験対策｜変換の手順と頻出5パターンを元講師が解説

📋 この記事でわかること

• n進法とは何か、10進法と何が違うのか
• 10進法⇔n進法の変換の手順（割り算の筆算・位の重み）
• 入試で出る頻出5パターンと見抜き方
• よくある間違いと、時間をかけすぎない方がよいケース
• 家庭での学習の進め方とFAQ

📌 この章のポイント

私たちがふだん使う数は「10個集まると位が1つ上がる」10進法です。n進法はこの「10」を「n」に置き換えただけの数の表し方で、仕組みがわかれば計算そのものは難しくありません。

🔍 n進法の定義

n進法とは、0から（n−1）までのn種類の数字を使い、n個集まるごとに1つ上の位へ繰り上げて数を表す方法です。たとえば2進法は「0と1」の2種類、5進法は「0〜4」の5種類の数字だけで、どんな整数も表せます。

身近な例では、時計の「60秒で1分、60分で1時間」は60進法の考え方、鉛筆の「12本で1ダース」は12進法の考え方です。

🆚 同じ数を3つの表し方で比べる

1から10までを10進法・2進法・5進法で並べると、繰り上がるタイミングの違いがはっきりします。

2進法では2になった瞬間、5進法では5になった瞬間に「10」と書きます。n進法の「10」は、10進法でいうnのことです。

🔢 各位が表す大きさ（10進法での値）

n進法の各位は、右から順に「1、n、n×n、n×n×n…」の大きさを表します。変換問題ではこの表を自分で書けることが土台になります。

🏫 学校の教科書との関係

文部科学省「学習指導要領」を見ると、n進法は小学校の算数には含まれておらず、高校の数学A（平成30年告示の高等学校学習指導要領）で扱われる内容です。つまり中学受験では、学校の授業とは別に塾や家庭で学ぶ発展単元という位置づけになります。

📌 この章のポイント

n進法は、毎年どの学校でも出る単元ではありません。一方で、出るときは「n進法」という言葉を使わずに出題されることが多く、気づけるかどうかで差がつきます。

📊 出題のされ方の傾向

私が指導してきた範囲では、n進法は上位〜難関校の算数で、大問の一部や小問集合として出ることが多い単元でした。出題のされ方は大きく2つに分かれます。

私の指導経験の範囲では、難度の高い学校ほど後者の「隠れ型」が多い印象です。入試問題全体の難しさのイメージは、中学受験の出題傾向と難しさでも整理しています。

📌 この章のポイント

変換は「10進法→n進法」と「n進法→10進法」の2方向だけです。n進法同士の変換も、いったん10進法を経由すれば必ず解けます。

📋 10進法の100を3進法に直す

nで割り続け、余りを下から順に並べます。

🧮 3進法の2102を10進法に直す

各位の数字に、その位の重みをかけて足します。

54＋9＋0＋2＝65になります。

🔍 3進法の2102を5進法に直す

まず10進法の65に直し、次に5で割り続けます。65÷5＝13あまり0、13÷5＝2あまり3なので、5進法では230です。

📌 この章のポイント

ここでは、入試で見かけることの多い出題パターンを5つに整理します。どれも「何種類の数字・状態を使っているか」を数えるとnが決まる、という共通点があります。

🔢 例題：4と9を使わない整数の100番目

使える数字は0・1・2・3・5・6・7・8の8種類なので、8進法と同じ仕組みです。100を8進法に直すと144になり、8進法の数字を「4→5、5→6、6→7、7→8」と読み替えると、答えは155です。

0は使える数字なので、「0〜9の10種類から4と9を除いた8種類」と数えます。0を数え忘れて7進法と考えてしまうミスが多いので注意してください。

💡 例題：5個のランプで表せる数

ランプ1個は「つく・消える」の2通りなので2進法です。右から1・2・4・8・16を表すとすると、左から「つく・消える・つく・つく・消える」は2進法の10110で、16＋4＋2＝22です。全部消えた0から全部ついた31まで、32通りを表せます。

🔍 例題：10進法の49が「121」と表されるのは何進法？

n進法の121は「n×n＋2×n＋1」を表します。これは（n＋1）×（n＋1）と同じなので、（n＋1）×（n＋1）＝49より n＋1＝7、答えは6進法です。小学生は文字式を使わず、nに5、6、7…と当てはめて調べても解けます。121には数字の2が使われているので、nは3以上と最初にしぼれる点も覚えておくと便利です。

🧮 例題：5進法で34＋23

1の位は4＋3＝7で、5進法では5で繰り上がるので「1繰り上げて2」。5の位は3＋2＋1＝6で「1繰り上げて1」。答えは5進法の112です。10進法に直すと19＋13＝32、112も25＋5＋2＝32で一致します。

⚖️ 2進法と3進法が隠れている

1g・2g・4g・8g・16gの分銅を片方の皿だけにのせると、1gから31gまでのすべての重さを量れます。これは2進法の考え方です。さらに1g・3g・9g・27gの分銅を両方の皿に使ってよい場合は、1gから40gまで量れます。こちらは3進法を応用した、難関校向けの発展問題です。

📋 おすすめの進め方

❓ よくある質問について

保護者の方からよくいただく質問を、指導経験と公開資料をもとにまとめました。

❓ 回答

小学校の学習指導要領の算数には、n進法は含まれていません。中学受験の塾で「特殊な数の表し方」として学ぶ発展内容で、学校の教科書で扱うのは、平成30年告示の高等学校学習指導要領における数学Aです。

❓ 回答

塾によって異なりますが、私が見てきた範囲では小5〜小6の時期に扱うことが多い単元です。位取りと割り算の余りが確実に使えることが前提なので、焦って先取りする必要はありません。

❓ 回答

出題の有無や頻度は学校によって大きく異なります。毎年のように出る単元ではないため、志望校の過去問で出題実績と出題形式を確認してから対策の比重を決めるのが確実です。

❓ 回答

不十分です。入試では3進法・5進法・8進法など様々なnが使われ、「4と9を使わない数」のようにn進法と書かれていない形でも出題されます。特定のnを覚えるより、変換の手順を身につけることが大切です。

❓ 回答

志望校で出題実績がほとんどなければ優先度を下げる判断はありえます。ただ基本の変換は短時間で身につくうえ、規則性や場合の数の問題にも応用できるため、基本問題までは取れる状態にしておくことをおすすめします。

❓ 回答

まれに10以上のnが出ることがあり、その場合はAやBなどの記号で数字を補う表し方が問題文で指定されるのが一般的です。考え方はほかのn進法と同じで、位の重みがnの累乗になる点は変わりません。

📌 この章のポイント

最後に、この記事の要点と、n進法の対策に力を入れるべきかどうかの目安を整理します。