等差数列の和【中学受験】公式の理由と頻出例題を元塾講師が解説

📋 この記事でわかること

• 等差数列とは何か、和の公式がなぜ「÷2」になるのか
• N番目の数・項数・和を求める3つの公式と使う順番
• 入試で頻出の応用パターン（碁石の並び・群数列・和からの逆算）
• 項数が1ずれるなど、つまずきやすいポイントと防ぎ方
• 家庭で教えるときのコツと、学年に応じた練習の進め方

読み終えるころには、初めて見る等差数列の問題でも「何を求めればよいか」を自分で判断できるようになるはずです。

🔰 この章の内容

「2、5、8、11、…」と並ぶ数を、全部でいくつ足したらいくつになるか。等差数列の和の問題は、すべてこの形に帰着します。この章では、用語の意味と公式、そして公式が成り立つ理由を確認します。

📌 等差数列の意味

等差数列とは、となり合う数の差がいつも同じになっている数の並びのことです。たとえば「3、7、11、15、…」は、どこを見ても差が4なので等差数列です。

「初項」「公差」は高校数学の用語です。私がこれまで指導してきた中学受験の教材や授業でもこの用語を使う場面はありましたが、「はじめの数」「増える数」「個数」「おわりの数」のような言い方で教わっているお子さんもいます。呼び方が違っても中身は同じです。

📌 和の公式

等差数列の和 ＝（初項 ＋ 末項）× 項数 ÷ 2

たとえば「3、7、11、…、79」（20個）の和は、（3＋79）×20÷2＝820です。1から100までの整数の和なら、（1＋100）×100÷2＝5050になります。

🔍 逆さ足しの考え方

1＋2＋3＋…＋10を例にします。同じ式を逆向きに書いて、上下を足してみてください。

どの列も（初項＋末項）＝11になり、それが項数の10列あるので11×10＝110。これは同じ数列を2回分足した値なので、2で割って55が答えです。公式の「÷2」は、この「2回分」を戻している割り算です。

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和の公式を使うには「末項」と「項数」が分かっていなければなりません。ところが入試問題では、このどちらかが隠されていることがほとんどです。ここでは和の公式とセットで使う2つの公式と、使う順番を整理します。

📌 N番目の数の公式

N番目の数 ＝ 初項 ＋ 公差 ×（N － 1）

「3、7、11、…」の20番目なら、3＋4×19＝79です。20番目なのに×19になるのは、1番目から20番目までの「間」が19個しかないからです。これは植木算の「間の数＝木の本数－1」とまったく同じ考え方です。

📌 項数の公式

項数 ＝（末項 － 初項）÷ 公差 ＋ 1

N番目の数の公式を逆から使ったものです。（末項－初項）÷公差で「間の数」が出るので、最後に＋1をして個数に直します。「2、5、8、…、101」なら（101－2）÷3＋1＝34個です。

📋 解く手順

📊 3つの公式の一覧

🔰 この章の内容

公式は、実際に手を動かして初めて使えるようになります。基本から「和から逆算する」問題まで、難しさの順に4題並べました。答えを見る前に、まず自分で解いてみてください。

✏️ 例題1

5、8、11、14、…と並ぶ数について、30番目の数と、1番目から30番目までの和を求めなさい。

「30÷2＝15」を先に計算すると、97×15だけで済みます。

✏️ 例題2

4＋11＋18＋…＋144 を計算しなさい。

項数が奇数のときは「21÷2」が割り切れないので、先に（4＋144）を2で割って74にしておくのがコツです。

✏️ 例題3

1から順に整数を1＋2＋3＋…と足していきます。和が初めて200を超えるのは、いくつまで足したときですか。

答えは20まで足したときです。この種の問題は方程式ではなく「見当→確認」で解くのが中学受験の定石です。

✏️ 例題4

1＋3＋5＋…＋39 を計算しなさい。

答えの400は20×20です。1から始まる奇数の和は、いつも「個数×個数（平方数）」になります。正方形の碁石の並べ方とも結びつく、入試でよく使われる性質です。

🔰 この章の内容

入試では「等差数列の和を求めよ」と直接聞かれることはむしろ少なく、図形の並びや数の表の中に等差数列が隠れています。代表的な3パターンを見ていきましょう。

✏️ 例題5

碁石を段ごとに並べます。1段目に3個、2段目に5個、3段目に7個…と、下の段ほど2個ずつ増やします。12段並べたとき、碁石は全部で何個ですか。

図形の問題は「1段目・2段目・3段目の個数」を書き出して、差が一定かを確かめるところから始めます。

✏️ 例題6

1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、…と並ぶ数について、50番目の数と、1番目から50番目までの和を求めなさい。

群数列は「グループの個数そのものが等差数列」になっている点を見抜けるかがすべてです。

⚖️ 等差数列かどうかの見分け方

差が一定でない数列に和の公式を当てはめると、もちろん答えは合いません。まず差を書き出す習慣がいちばんの予防策です。

🔰 この章の内容

等差数列は一度理解すれば、規則性・図形・場合の数など、ほかの単元でも何度も使う道具になります。家庭でどう練習し、どう教えればよいかをまとめました。

📌 学ぶ時期の目安

「等差数列」という用語と公式は、学校の授業では高校の数学Bにある「数列」で学ぶ内容です（文部科学省・学習指導要領）。中学受験塾では、多くの場合小4〜小5ごろに「規則性」の単元として先取りして学びます。具体的な学年や時期は塾のカリキュラムによって異なるため、通っている塾のテキストで確認してください。

🏢 学習サポートの選び方

規則性は映像授業でも学びやすい単元です。動画で説明を聞き直したい場合は、スタサプで中学受験にどこまで対応できるかを確認しておくと判断しやすくなります。一方、つまずきの原因を一緒に探してほしい場合は、個別に見てもらえる個別指導や家庭教師が向いています。どちらが合うかは、お子さんが「説明を聞けば分かるタイプ」か「質問しながら進めたいタイプ」かで判断するのがよいと考えます。

🔰 この章の内容

授業や家庭学習でよく受ける質問をまとめました。

❓ Q＆A

公式は覚えて構いませんが、同じ数列を逆向きに並べて足す「逆さ足し」で自分で導けるようにしておくことをおすすめします。導き方を理解していると、項数のずれや応用問題でのミスが減ります。

❓ Q＆A

多くの塾では小4〜小5ごろに「規則性」の単元として学ぶのが一般的です。ただし学年や時期は塾のカリキュラムによって異なるため、通っている塾のテキストで確認してください。

❓ Q＆A

使えます。差が一定であれば、0.5ずつ増える数列や1/3ずつ増える数列でも、N番目の数・項数・和の公式はそのまま成り立ちます。

❓ Q＆A

使えます。たとえば100、97、94、…、1の和は、項数が（100－1）÷3＋1＝34、和が（100＋1）×34÷2＝1717です。並べる向きを逆にすれば増える数列と同じです。

❓ Q＆A

答えだけを書く形式なら問題ありません。途中式を書く形式では、文字を使わずに「（初項＋末項）×項数÷2」のように言葉と数で考え方を示すほうが採点者に伝わりやすいと考えます。