つるかめ算の解き方を元塾講師が解説｜中学受験の面積図・応用まで

🔍 この記事でわかること

• つるかめ算とは何か、なぜ中学受験で重視されるのか
• 仮定法・面積図・表の3つの解き方と使い分け
• お金・弁償算・差のつるかめ算・3種類の応用パターン
• つまずく子に共通する原因と、家庭でできる学習ステップ

読み終えるころには、お子さんに「なぜその式になるのか」を自分の言葉で説明できる状態を目指せます。なお、本記事は特定の塾や教材と利害関係はなく、例題はすべて筆者が作成したオリジナル問題です。

📌 この章の内容

「つると亀が合わせて10匹、足は28本。それぞれ何匹？」――この有名な問題がつるかめ算です。この章では、つるかめ算の定義と、中学受験で重視される理由、方程式との関係を整理します。

📌 つるかめ算の定義

つるかめ算とは、2種類のものの「合計の個数」と「合計の量」がわかっているとき、それぞれの個数を求める文章題です。「全部がつるだったら」と仮定して実際との差を求め、その差を「1匹入れ替えたときの差」で割って答えを出します。

つると亀に限らず、50円玉と100円玉、徒歩と自転車の時間など、1つあたりの量が異なる2種類のものが混ざった問題はすべて同じ考え方で解けます。

📋 由来と方程式との関係

つるかめ算の起源は、中国の古い算術書にある「キジとウサギ」の頭数と足の数の問題とされ、日本では縁起のよい「鶴と亀」の形で広まったと言われています。

中学数学では、同じ問題を連立方程式で解きます。つるの数をx、亀の数をyとすると「x＋y＝10」「2x＋4y＝28」となり、これを解くとx＝6、y＝4です。文部科学省の中学校学習指導要領（平成29年告示）では、連立二元一次方程式は中学2年の内容に位置づけられています。

つまりつるかめ算は、文字を使わずに連立方程式を解く小学生向けの方法と言えます。算数全体の学年別の勉強法は中学受験の算数対策の記事もあわせてご覧ください。

📌 この章の内容

つるかめ算には「仮定法」「面積図」「表」という3つの代表的な解き方があります。同じ例題を3通りで解き、それぞれの強みと使い分けを比べます。

例題：つると亀が合わせて10匹います。足の数は合計28本です。つると亀はそれぞれ何匹いますか。

🔢 仮定法の4ステップ

📊 面積図の考え方

面積図では、横の長さを「匹数」、縦の長さを「1匹あたりの足の数」、面積を「足の合計」と見ます。つるの長方形（縦2）と亀の長方形（縦4）を横に並べ、全体の面積が28になるように考えます。

下の図のように、全体を高さ2で切ると下の長方形は2×10＝20。残りの「出っ張り」部分8が、亀の部分だけにある高さ2の長方形なので、横の長さ（亀の数）は8÷2＝4匹と読み取れます。

📋 表で規則を見つける

つるを10匹から1匹ずつ減らし、亀を増やしていくと、足の合計は2本ずつ増えることがわかります。

表は数が大きいと時間がかかりますが、「1匹入れ替えると2本変わる」という規則を子ども自身が発見できるのが最大の利点です。この発見が、仮定法の③のステップの意味そのものになります。

⚖️ 解き方の比較

おすすめの順番は「表 → 仮定法 → 面積図」です。どれか1つに絞るより、同じ問題を複数の方法で解いて「答えが一致する」経験をさせると理解が深まります。

📌 この章の内容

入試では「つる」「亀」という言葉はほとんど出てきません。見た目は違っても「2種類が混ざり、合計がわかっている」構造に気づけるかが勝負です。代表的な4パターンを、すべて筆者作成の例題で紹介します。

🧮 例題①：切手の枚数

50円切手と80円切手を合わせて15枚買い、代金は1020円でした。80円切手は何枚ですか。

• 全部50円切手なら：50×15＝750円
• 実際との差：1020－750＝270円
• 1枚入れ替えると：80－50＝30円増える
• 80円切手：270÷30＝9枚（50円切手は6枚。確かめ：300＋720＝1020円）

「足の本数」が「金額」に変わっただけで、構造は例題とまったく同じです。

🧮 例題②：品物の運搬

品物を1個運ぶと20円もらえますが、割ってしまうと20円がもらえないうえに50円を弁償します。100個運んで1650円もらいました。割ったのは何個ですか。

• 全部無事なら：20×100＝2000円
• 実際との差：2000－1650＝350円
• 1個割るごとに：もらえない20円＋弁償50円＝70円減る
• 割った数：350÷70＝5個（確かめ：20×95－50×5＝1650円）

🧮 例題③：合計ではなく差がわかる問題

つると亀が合わせて20匹います。つるの足の合計は、亀の足の合計より4本多いです。亀は何匹ですか。

• 全部つるなら：つるの足40本、亀の足0本で、差は40本
• 実際の差4本との違い：40－4＝36本
• 1匹をつるから亀に替えると：つるの足が2本減り、亀の足が4本増えるので、差は2＋4＝6本縮む
• 亀の数：36÷6＝6匹（つる14匹。確かめ：28本と24本で差は4本）

「1匹入れ替えると差がいくつ変わるか」を、足し算で考えるのがポイントです。

🧮 例題④：硬貨が3種類

10円玉・50円玉・100円玉が合わせて20枚あり、合計は1440円です。10円玉と50円玉の枚数は同じです。それぞれ何枚ですか。

• 10円玉と50円玉は同じ枚数なので、2枚1組で60円、1枚あたり平均30円とみなせる
• これで「30円玉」と「100円玉」の2種類のつるかめ算になる
• 全部100円玉なら：2000円。差は2000－1440＝560円
• 1枚入れ替えると：100－30＝70円減る → 560÷70＝8枚
• 答え：10円玉4枚、50円玉4枚、100円玉12枚（確かめ：40＋200＋1200＝1440円）

🧮 例題⑤：歩いて走って登校

家から学校までの1800mを、はじめは分速60mで歩き、途中から分速150mで走ったところ、合計18分かかりました。走った時間は何分ですか。

• 18分すべて歩いたら：60×18＝1080m
• 実際との差：1800－1080＝720m
• 1分を歩きから走りに替えると：150－60＝90m多く進む
• 走った時間：720÷90＝8分（歩いたのは10分。確かめ：600＋1200＝1800m）

📌 この章の内容

つるかめ算は「解き方を教われば基本問題はすぐ解ける」単元です。だからこそ、理解が浅いまま先に進んでしまうリスクがあります。指導の中で繰り返し見てきたつまずきと、その注意点をお伝えします。

📌 この章の内容

中学受験の特殊算は名前が多く、「この問題は何算？」と迷うのはよくあることです。つるかめ算と考え方が近い特殊算を比べ、見分け方を整理します。

🆚 似た特殊算の比較表

🔍 3つのチェックポイント

1. 2種類（または2種類にまとめられるもの）が混ざっているか
2. 「合わせて〇個」のように合計の個数がわかっているか
3. 1つあたりの量が種類ごとに決まっていて、合計量がわかっているか

3つがそろえば、つるかめ算で解ける可能性が高いと判断できます。「合計個数」ではなく「個数の差」が与えられている場合は、差集め算や消去算を疑いましょう。

❓ この章の内容

保護者の方や受験生からよく寄せられる疑問に、Q&A形式でお答えします。

❓ Q&A

Q. つるかめ算は何年生で習いますか？

A. 小学校の学習指導要領には「つるかめ算」という名前の内容は示されておらず、主に中学受験塾のカリキュラムで学びます。時期は塾によって異なるため、通っている塾のカリキュラム表で確認してください。

❓ Q&A

Q. 方程式で解いても入試で正解になりますか？

A. 答えだけを書く形式なら解き方は問われません。途中式や考え方を書かせる学校では採点基準が公表されていないことが多いため、算数の考え方（仮定法や面積図）で説明できるようにしておくのが無難です。

❓ Q&A

Q. 面積図と表はどちらを覚えるべきですか？

A. 基本問題はどちらでも解けます。仕組みの理解には表、3種類のつるかめ算や平均算への応用には面積図が便利です。表で仕組みをつかんでから面積図に進む順番をおすすめします。

❓ Q&A

Q. つるかめ算が苦手な子は何から始めればいいですか？

A. 数字の小さい問題で表を書き、1つ入れ替えると全体がいくつ変わるかを子ども自身に発見させるのが近道です。公式の暗記より先に、この変化の規則に気づくことが大切です。

❓ Q&A

Q. 「全部亀」と仮定しても解けますか？

A. 解けます。つると亀が合わせて10匹で足が28本の場合、全部亀なら足は40本で実際より12本多く、1匹を亀からつるに替えると2本減るので、つるは12÷2＝6匹です。どちらで仮定しても答えは同じになります。

📌 この章の内容

理屈がわかったら、次は「確実に得点できる状態」にする段階です。家庭で取り組める順番と、保護者ができるサポートをまとめます。

🔰 学習の4ステップ