中学受験の場合の数を元塾講師が解説｜解き方の基本と頻出7パターン

🔍 この記事でわかること

• 場合の数の基本（和の法則・積の法則、並べる／選ぶの違い）
• 入試で頻出の7パターンと、それぞれの解き方
• 樹形図で書き出すべき問題と、計算で処理すべき問題の見分け方
• 指導現場で多かったつまずきと、その対策
• 学年別の勉強法と、家庭でできる練習メニュー

📌 この章で押さえること

場合の数は、中学受験算数の中でも「解き方を知っているかどうか」より「数え方が整理されているかどうか」で差がつく単元です。この章では、すべての問題の土台になる考え方を確認します。

📌 場合の数の定義

場合の数とは、ある条件を満たす並べ方や選び方が「全部で何通りあるか」を、漏れなく・重複なく数える単元です。中学受験では、カードの並べ方、代表の選び方、道順、色の塗り分け、サイコロの目などの形で出題されます。

小学校の授業でも、文部科学省の現行学習指導要領（小学校は平成29年告示）で第6学年の「データの活用」に「起こり得る場合」として位置づけられていますが、中学受験ではそれより早い学年から、より発展的な形で扱われるのが一般的です。

⚖️ 2つの法則の比較

判断のコツは、「場合に分ける」なら足し算、「順番に決める」なら掛け算と言葉で区別することです。

📊 並べる（順番あり）と選ぶ（順番なし）

5人から委員長と副委員長を決めるのは「並べる」（5×4＝20通り）、5人から委員を2人選ぶのは「選ぶ」（20÷2＝10通り）です。選ぶ場合は、並べた数を「選んだ人どうしの並べ替えの数」で割ります。

下のグラフは、5人から1〜5人を取り出すときの「並べる」「選ぶ」の通り数を比べたものです。取り出す人数が増えるほど、並べ替えの数（÷1、÷2、÷6、÷24、÷120）の分だけ差が大きく開くことがわかります。

📋 学習時期の目安

学校の授業では小6で基本的な並べ方・組み合わせ方を扱います。一方、中学受験塾での扱いは、私が指導してきた範囲では小4〜小5で基本に触れ、小6で入試レベルの応用に取り組む流れが多いと感じています。ただし、塾ごとのカリキュラム時期を横断的に比較できる公開データは確認できなかったため、具体的な時期は通塾先のカリキュラムでご確認ください。

場合の数は算数全体の中でも独立性の高い単元です。算数全体の学年別の進め方は、中学受験算数の学年別勉強法で整理しています。

📌 この章で押さえること

場合の数の入試問題は、見た目は多彩でも、多くは数種類の型に分類できます。ここでは代表的な7パターンについて、例題と考え方の要点をまとめます。

📋 頻出パターンと解法の対応表

出題の傾向そのものは学校によって異なります。入試問題の全体的な難しさや傾向は、中学受験の問題の出題傾向で解説しています。

🔢 例題と解き方

例題：0、1、2、3、4の5枚のカードから3枚を並べて3けたの整数をつくります。全部で何通りですか。また、偶数は何通りですか。

考え方：百の位に0は置けないので、百の位は4通り、十の位は残り4通り、一の位は残り3通りで、4×4×3＝48通り。

偶数は「一の位が0」と「一の位が2か4」で場合分けします。一の位が0なら百の位4通り×十の位3通り＝12通り。一の位が2なら百の位は0と2以外の3通り×十の位3通り＝9通りで、4も同様に9通り。合計12＋9＋9＝30通りです。

🔢 例題と解き方

例題：6人から3人を選びます。（ア）委員長・副委員長・書記を1人ずつ決める（イ）委員を3人選ぶ、それぞれ何通りですか。

考え方：（ア）は役職がある＝並べるので、6×5×4＝120通り。（イ）は役職がない＝選ぶので、選んだ3人の並べ替え3×2×1＝6で割って120÷6＝20通りです。問題文の「役職」「順番」の有無に線を引く習慣をつけると、取り違えを防げます。

🔢 例題と解き方

例題：右へ3区画、上へ2区画の碁盤の目の道を、遠回りせずに進む行き方は何通りですか。

考え方：スタートから、各交差点に「そこまでの行き方の数」を書き込みます。左端の列と下端の行はすべて1、それ以外の交差点は「左から来る数＋下から来る数」です。順に足していくとゴールは10通りになります。通れない道や「必ず通る点」がある問題でも、この書き込み方なら同じ手順で対応できます。

🔢 例題と解き方

例題：横一列に並んだA・B・C・Dの4区画を、赤・青・黄の3色で、となり合う区画が同じ色にならないように塗ります（使わない色があってもよい）。何通りですか。

考え方：Aは3通り、BはAと違う2通り、CはBと違う2通り、DはCと違う2通りで、3×2×2×2＝24通り。となり合う区画が多い図形では、接している区画が最も多い場所から塗ると、場合分けが少なくて済みます。

🔢 例題と解き方

サイコロ：大小2個のサイコロを投げて、出た目の積が偶数になるのは何通りか。全体6×6＝36通りから、積が奇数（両方奇数）の3×3＝9通りを引いて27通り。「〜でない場合」を全体から引く考え方は、直接数えると場合分けが多い問題で特に有効です。

円形の並び：5人が円形のテーブルに座る座り方は、1人の席を固定して残り4人を並べ、4×3×2×1＝24通り。回転して同じになる並びを1通りと数えるのがポイントです。

図形の個数：円周上の6個の点から3個を結んでできる三角形は、6個から3個を「選ぶ」ので、6×5×4÷6＝20個。ただし3点が一直線上に並ぶ配置がある問題では、その分を除く必要があります。

📌 この章で押さえること

場合の数で点数が安定しない子の多くは、「どの問題で書き出し、どの問題で計算するか」の判断が定まっていません。ここでは、その判断基準を整理します。

🔍 書き出しが有効な場面

• 条件が2つ以上重なり、単純な掛け算に乗らない問題
• 同じ数字・同じ色のように「区別できないもの」を含む問題
• 答えが20〜30通り程度までに収まりそうな問題
• 掛け算で出した答えを検算したいとき

特に「区別できないもの」は要注意です。例えば赤玉2個と白玉1個の並べ方は、玉を区別すれば3×2×1＝6通りですが、同じ色を区別しない場合は「赤赤白・赤白赤・白赤赤」の3通りです。こうした問題では、計算より書き出しのほうが確実です。

🔍 計算が有効な場面

• 各段階で選べる数が条件に左右されず、一定である問題
• 答えが大きくなり、書き出すと時間が足りない問題
• 「選ぶ」問題で、並べた数を並べ替えの数で割れば済む問題

計算で処理するときも、最初の1〜2本だけ樹形図を書いて規則を確認すると、掛け算の立て方のミスを防げます。

📋 場合の数の解き方手順

間違えた問題は、この3ステップのどこで判断を誤ったかを記録しておくと、同じミスの再発を防げます。記録の仕方は算数の間違いノートの作り方も参考にしてください。

📋 学年別の学習目安

上記は一般的な目安であり、通塾先のカリキュラムによって前後します。受験学年までの全体像は中学受験の学年別ロードマップで確認できます。

📋 家庭練習の手順

量をこなすより、1問ごとに手順を言葉にすることを優先してください。説明できない問題は、解けていても理解が不十分な可能性があります。

🆚 学習手段ごとの特徴

映像授業で場合の数を復習する選択肢として、スタサプで中学受験にどこまで対応できるかを検証しています。

❓ よくある質問について

保護者の方や受験生からよく寄せられる疑問に、Q&A形式でお答えします。

❓ 回答

時期は塾のカリキュラムによって異なり、一律の目安を示す公開データはありませんが、私の指導経験では小4〜小5で本格的に扱われることが多い単元です。家庭では、小3〜小4のうちから身近なもの（服の組み合わせ、数字カードの並べ方など）を樹形図や表で書き出す練習をしておくと、塾で扱うときにスムーズに入れます。

❓ 回答

中学受験でPやCの記号を覚える必要はありません。大切なのは「並べるなら掛け算」「選ぶなら並べた数を並べ替えの数で割る」という考え方です。考え方を理解したうえで計算の近道として使うのは問題ありませんが、意味を説明できない段階での暗記はおすすめしません。

❓ 回答

最初の1〜2本の枝だけ書いて同じ形の繰り返しを見つけ、残りは掛け算で済ませる「途中まで書いて規則を見る」方法を練習してください。すべてを書き切る必要があるのは、条件が複雑で規則が見えない問題に限られます。

❓ 回答

基本問題（並べ方・選び方・道順など）は多くの学校で得点源になるため、捨てるのはおすすめしません。一方、条件が何重にも重なる難問は、志望校の過去問で出題傾向を確認したうえで、時間配分の判断として後回しにするのは合理的な戦略です。

❓ 回答

大人の感覚で公式や答えを先に示さず、子ども自身に樹形図や表を書かせて「なぜその数になるのか」を言葉で説明させることです。数え間違いを責めるより、どこで重複・漏れが起きたかを一緒に確認するほうが、次の問題につながります。

❓ 回答

場合の数は「何通りあるか」を数える単元で、確率は「その起こりやすさの割合」を求める単元です。現行の学習指導要領では、確率は中学2年で学ぶ内容とされています。中学受験では場合の数として出題されるのが中心ですが、学校によって出題範囲は異なるため、志望校の過去問で確認してください。