ニュートン算の解き方｜中学受験の3パターンを元塾講師が解説

📋 この記事で解決できること

• ニュートン算とは何か、仕事算と何が違うのか
• 牧草型・行列型・水槽型の3パターンの解き方
• 「差が増えた量になる」理由を図で理解する方法
• 子どもがつまずく原因と、家庭での教え方
• 「草が減る」「何頭まで大丈夫か」などの応用の考え方

読み終えるころには、初見の問題でも自力で線分図を描き始められる状態を目指します。

📌 この章のポイント

「牛が草を食べている間にも草は生えてくる」――この一文に違和感がなければ、ニュートン算の半分は理解できています。この章では定義と、似た特殊算との違いを整理します。

🔍 ニュートン算の定義

ニュートン算とは、最初にある量が、一定の割合で増え（または減り）続けながら、同時に一定の割合で消費されていくときに、なくなるまでの時間や必要な人数・台数を求める特殊算です。

名前は、物理学者アイザック・ニュートンが著作の中で牧場の牛と草の問題を扱ったことに由来すると紹介されることが一般的です。なお、文部科学省の学習指導要領には「ニュートン算」という単元名はなく、学校の授業ではなく中学受験の算数で扱われる特殊算です。

🆚 似ている特殊算との比較

ニュートン算は「仕事算に“増える量”が1つ加わったもの」と捉えると整理しやすくなります。

📋 題材別の3パターン

見た目は違っても、「最初の量・増える量・減らす量」の3つに分ければ構造は同じです。

📌 この章のポイント

ニュートン算で手が止まる子の多くは、「どこから手をつけるか」が決まっていません。ここでは、すべてのパターンに共通する3ステップを先に固めます。

🔢 ニュートン算の基本3ステップ

📊 線分図で見る「差＝増えた量」

⚖️ 線分図と連立方程式の比較

初めの草をx、1日に生える草をyとすると、上の条件は次の連立方程式になります。

x＋20y＝200、x＋10y＝150 → y＝5、x＝100

上の式から下の式を引く操作は、線分図で「差を取る」ことと同じです。中学生以上の保護者の方が「方程式なら分かる」と感じるのはこのためで、教えるときは「線分図の差＝方程式の引き算」と対応づけると説明しやすくなります。

📌 この章のポイント

3つのパターンを、同じ3ステップで解いていきます。数字が変わっても手順がまったく同じであることを確認してください。

❓ 例題1（牧草型）

ある牧場では、草が毎日一定の量ずつ生えます。牛10頭を放すと20日で、牛15頭を放すと10日で草を食べ尽くします。牛25頭を放すと、何日で食べ尽くしますか。

🔢 例題1の解き方

❓ 例題2（行列型）

開場前から行列ができており、開場後も毎分一定の人数が並びます。窓口を2つ開けると30分で、3つ開けると15分で行列がなくなります。窓口を4つ開けると、何分で行列がなくなりますか。

🔢 例題2の解き方

❓ 例題3（水槽型）

水がたまった水槽に、毎分一定の量の水が流れ込み続けています。ポンプ3台では24分で、ポンプ5台では12分で水槽が空になります。ポンプ7台では、何分で空になりますか。

🔢 例題3の解き方

📌 この章のポイント

基本形が解けるようになると、次は「条件のひねり」に出会います。ここでは、グラフで見ると一気に分かりやすくなる応用の考え方を整理します。

📈 残っている草の量の変化（例題1の牧場）

🔍 増える量と減らす量が釣り合うとき

「草がなくならないのは最大何頭か」と聞かれたら、1日に生える量＝1日に食べる量となる頭数を考えます。例題1なら1日に⑤生えるので、5頭以下なら草は減りません（グラフの緑の点線）。

行列型なら「行列がいつまでも減らない窓口の数」、水槽型なら「水位が下がらないポンプの台数」と、同じ発想で解けます。

🔍 途中で窓口やポンプの数が変わる問題

「最初の10分は窓口2つ、そのあと4つに増やした」のように条件が途中で変わる問題は、時間を区切って考えます。まず3ステップで「初めの量」と「増える速さ」を出し、前半の時間で残りがいくつになったかを計算してから、後半の条件で割ります。例題2なら、窓口2つの10分間で30−(2−1)×10＝20人が残り、そこから窓口4つで20÷3＝6と3分の2分かかります。

❓ 例題4（減少型）

冬の牧場では、草が毎日一定の量ずつ枯れていきます。牛6頭を放すと10日で、牛4頭を放すと12日で草がなくなります。15日で草がなくなるようにするには、牛を何頭放せばよいですか。

🔢 例題4の解き方

📌 この章のポイント

ニュートン算は「解き方を覚えたはずなのにテストで解けない」が起きやすい単元です。ここでは、その原因と、家庭学習で気をつけたい点を正直にお伝えします。

🔍 まずは算数全体の土台から

ニュートン算は、割合や比、仕事算の理解の上に乗る単元です。土台からつまずいている場合は、学年別の算数の勉強法とつまずき対処もあわせて確認すると、どこまで戻ればよいかの目安がつかめます。

📌 この章のポイント

保護者の方・受験生からよく聞かれる疑問をQ&A形式でまとめました。

❓ Q&A

A. 扱う時期は塾ごとのカリキュラムで異なります。一般的には割合・比や仕事算を学んだ後、小5後半〜小6で本格的に扱われることが多いと私は見ていますが、正確な時期は通っている塾のカリキュラム表でご確認ください。

❓ Q&A

A. 答えを出すこと自体は連立方程式でも可能です。ただし小学生にとっては、線分図で「全体の量の差＝増えた量」と目で見て理解する方が応用問題に強くなります。方程式の使用可否や途中式の採点基準は学校ごとに異なり、多くは公表されていないため、記述式の学校を受ける場合は塾の先生に確認するのが確実です。

❓ Q&A

A. 仕事算は仕事の総量が最初から決まっていて変わりません。ニュートン算は、作業している間にも量が一定の割合で増える（または減る）点が違います。そのため「2つの条件の差から増える量を求める」という1ステップが加わります。

❓ Q&A

A. 1日に増える草の量と、牛が1日に食べる量が等しいか、食べる量の方が少なければ草はなくなりません。本記事の例題（1日に牛5頭分の草が生える）なら、5頭以下で放すと草はなくならない計算になります。

❓ Q&A

A. 志望校の過去問での出題状況によります。基本形は解き方の型が決まっているため、型を覚えれば得点しやすい単元です。捨てるかどうかは、志望校の過去問で出題頻度と難度を確認してから判断することをおすすめします。

📌 この章のポイント

解き方を理解したら、次は「テストで再現できる」状態にする段階です。今日から家庭でできる練習の手順をまとめます。

🧭 家庭での練習ステップ

🔍 復習の記録を習慣にするなら

③の記録は、算数の間違いノートの作り方と続け方の考え方と相性がよいです。ニュートン算のように手順が決まっている単元ほど、「止まったステップ」の記録が効きます。

📋 理解の段階別にできること

別の説明に触れたい場合は、スタサプが中学受験にどこまで使えるかを検証した記事が参考になります。学習全体の計画から見直したい方は、学年別の中学受験ロードマップで今の時期にやるべきことを確認してみてください。