和差算とは？中学受験の解き方と線分図のコツを元塾講師が解説

🔍 この記事で解決できる疑問

• 和差算とは何か、公式はなぜ成り立つのか
• 線分図を使った解き方の手順
• 中学受験で出る応用パターン（3つの数・やりとり型・図形型ほか）
• 分配算・差集め算・つるかめ算との見分け方
• よくあるミスと、家庭での教え方・練習の組み方

読み終えるころには、和差算を「公式を当てはめる問題」から「図で説明できる問題」に変える道筋が見えるはずです。

📌 この章のポイント

「2つの数を足すと50、引くと12。それぞれいくつ？」——これが和差算のいちばんシンプルな形です。この章では、和差算の定義と公式、そして公式がなぜ成り立つのかを線分図で確認します。

📌 和差算の定義

和差算とは、2つ（または3つ以上）の数量の「和（合計）」と「差（ちがい）」が分かっているときに、それぞれの数量を求める特殊算です。小学校の授業で「和差算」という名前で学ぶことは一般的ではなく、主に中学受験の算数で扱われる代表的な特殊算の一つです。

特殊算の中でも構造が最も単純なため、線分図の練習台として最初期に学ぶことが多く、中学受験算数の学年別の勉強法の中でも、文章題の入口に位置づけられる単元です。

📋 和差算の公式

どちらか一方を求めたら、もう一方は「和から引く」か「差を足す・引く」で出せます。

📊 線分図で見る和差算の仕組み

公式の正体は「大きい数から差の分を切り落とすと、2本の線が同じ長さ（小さい数）になる」ということです。下の図の上段が2つの数、下段が3つの数の場合です。

作図：kou（数値は本記事オリジナルの例題）

📌 この章のポイント

公式を知っていても、問題文から「何が和で、何が差か」を読み取れなければ使えません。ここでは、どの和差算にも共通する手順と、私が生徒に必ず教えている検算の方法を紹介します。

📋 和差算の基本手順

🧮 例題

兄と弟の所持金は合わせて1500円で、兄は弟より300円多く持っています。兄と弟はそれぞれ何円持っていますか。

• 和＝1500円、差＝300円
• 弟（小）：（1500－300）÷2＝600円
• 兄（大）：600＋300＝900円
• 検算：900＋600＝1500、900－600＝300 ✓

📌 この章のポイント

入試や塾のテストで「和差算」とそのまま書かれることはほとんどありません。和差算は、別の設定の問題の中に隠れて出てきます。代表的な4つのパターンを見ていきましょう。

🧮 例題

A・B・Cの3人の得点の合計は100点です。AはBより12点高く、CはBより2点低い点数でした。3人の得点を求めなさい。

• 基準をBに決める（3人すべてと関係が書かれている人を選ぶ）
• Aの多い分12を引き、Cの足りない分2を足す：100－12＋2＝90
• B：90÷3＝30点、A：30＋12＝42点、C：30－2＝28点
• 検算：42＋30＋28＝100 ✓

ポイントは「多い分は引く、少ない分は足す」で、基準の線にすべてをそろえることです。上の線分図②も参照してください。

「AはBより5多く、BはCより3多い」のように関係が連鎖している場合は、いちばん小さいCを基準にすると、Bは＋3、Aは＋8となり、すべて「引く」だけで整理できます（合計－3－8を3で割るとC）。

🧮 例題

AとBはあめを合わせて80個持っています。AがBに6個あげると、2人の個数は等しくなります。はじめにAとBは何個ずつ持っていましたか。

• Aは6個減り、Bは6個増えて同じになる → はじめの差は6×2＝12個
• A：（80＋12）÷2＝46個、B：80－46＝34個
• 検算：46－6＝40、34＋6＝40 ✓

🧮 例題

まわりの長さが52cmの長方形があり、縦は横より6cm長いです。この長方形の面積を求めなさい。

• まわりの長さは「縦＋横」の2倍 → 縦＋横＝52÷2＝26cm
• 縦：（26＋6）÷2＝16cm、横：26－16＝10cm
• 面積：16×10＝160cm²

52をそのまま和として使ってしまうミスが多いので、「まわりの長さの半分が縦＋横」を最初に確認するのがコツです。

🔍 他の単元の中にある和差算

流水算で「静水時の速さ＝（下り＋上り）÷2」と習うのは、まさに和差算の形です。単元ごとに公式を増やすより、「これは和と差の問題だ」と気づけるかどうかが得点を分けます。

📌 この章のポイント

「この問題、和差算？分配算？」と迷うのは自然なことです。見分けのカギは、問題文にどんな「関係」が書かれているかにあります。

🆚 似た特殊算の見分け方

和差算は「倍」が出てこないのが最大の特徴です。「倍」が1つでも入ったら、分配算として線分図の描き方を変えます。

⚖️ 算数と数学のつながり

和差算は、中学数学でいえば「x＋y＝和、x－y＝差」という連立方程式を解いているのと同じです。2式を足すと2x＝和＋差となり、公式「（和＋差）÷2」がそのまま出てきます。

ただし、文部科学省の学習指導要領では連立二元一次方程式は中学2年の内容です。中学受験の算数では文字式に頼らず、線分図で同じことを考える力が問われます。

📌 この章のポイント

和差算は「簡単な単元」と思われがちですが、だからこそミスが放置されやすい単元でもあります。よくあるつまずきと、学習法そのものの注意点を正直にお伝えします。

📌 この章のポイント

保護者の方や受験生からよく聞かれる質問に、Q&A形式でお答えします。

❓ Q＆A

A. 小学校の授業で「和差算」という名前で学ぶことは一般的ではなく、主に中学受験の進学塾で扱う特殊算です。私の指導経験では、小4前後で線分図とあわせて本格的に学ぶ生徒が多い印象です。時期は塾のカリキュラムによって異なります。

❓ Q＆A

A. 公式（大きい数＝（和＋差）÷2、小さい数＝（和－差）÷2）は覚えて損はありませんが、丸暗記だけでは3つの数ややりとり型の応用で崩れます。線分図で「差の分を足す・引く」意味を説明できる状態を目標にしてください。

❓ Q＆A

A. 答えを出すだけなら連立方程式でも同じ結果になります。ただし連立方程式は中学2年で学ぶ内容で、記述式の入試で方程式を使った解答をどう採点するかは学校ごとに異なり、公表されていないことが多いため、線分図による解き方も身につけておくと安心です。

❓ Q＆A

A. 2つの数がどちらも整数なら、和と差は必ず「両方偶数」か「両方奇数」になるため、（和＋差）は必ず偶数になり2で割り切れます。割り切れない場合は、和と差の読み取りや計算を間違えている可能性が高いので、問題文に戻って確認してください。小数や分数を扱う問題はこの限りではありません。

❓ Q＆A

A. 和差算は「和と差」が分かっている問題、分配算は「和と倍の関係」が分かっている問題です。「〇倍」「〇倍より△多い」という表現があれば分配算、「〇多い」「〇少ない」だけなら和差算と見分けるのが基本です。

📋 この記事の学習法が向いている人・向いていない人