旅人算の解き方｜中学受験の出会い算・追いかけ算を元塾講師が解説

📋 この記事で解決できる疑問

• 旅人算とは何か、出会い算と追いかけ算はどう違うのか
• 例題を使った基本の解き方の手順
• 休憩・往復・ダイヤグラム・比など、入試で差がつく応用パターン
• 旅人算でつまずく原因と、家庭で教えるときの注意点
• 学年別の進め方と、塾・家庭教師・映像授業の使い分け

読み終えるころには、初めて見る問題でも「まず何を描き、速さを足すのか引くのか」を自分で判断できる状態を目指せます。

🔍 この章で押さえること

「AさんとBさんが同時に出発して、何分後に出会うか」。この形の問題が旅人算の典型です。この章では、旅人算の定義、出会い算と追いかけ算の違い、そしていつ習うのかを整理します。

📌 旅人算の定義

旅人算とは、2人（または2つのもの）が同時に、あるいは時間差で動くときに、出会うまでの時間や追いつくまでの時間、その地点などを求める問題です。中学受験の算数では、和差算やつるかめ算などと並ぶ「特殊算」の一つとして扱われます。

解くときのポイントは、2人の動きを別々に追うのではなく、2人の間の距離が1分（1秒）あたりどれだけ変わるかという一点に注目することです。

📊 速さに関するほかの特殊算との違い

いずれも「速さ×時間＝道のり」の関係が土台です。旅人算で和・差の考え方を固めておくと、通過算や流水算にも入りやすくなります。

🆚 出会い算と追いかけ算の比較

📋 学校で速さを学ぶ時期

現行の小学校学習指導要領（平成29年告示）では、速さは第5学年で扱う内容とされています（文部科学省：学習指導要領）。ただし、学校の教科書に「旅人算」という名前の単元があるわけではなく、2人が出会う・追いつく問題を体系的に扱うのは主に中学受験塾のカリキュラムです。

🔍 この章で押さえること

旅人算は、問題の見た目が変わっても解く手順はほぼ同じです。まず4つの手順を確認し、そのあと出会い・追いかけ・池の周りの3パターンの例題で使い方を見ていきます。

🔢 解き方の手順

📋 例題1

家から駅までは1800mです。兄は家から駅へ分速70m、弟は駅から家へ分速50mで同時に出発しました。2人が出会うのは何分後で、家から何mの地点ですか。

🧮 解き方

• 1分で2人の間は70＋50＝120m縮む
• 1800÷120＝15分後に出会う
• 兄は15分で70×15＝1050m進むので、家から1050mの地点

確かめ：弟は50×15＝750m進み、1050＋750＝1800mで全体と一致します。

📋 例題2

弟が分速60mで家を出てから10分後に、兄が自転車に乗って分速180mで同じ道を追いかけました。兄は出発してから何分後に弟に追いつきますか。

🧮 解き方

• 兄が出発する時点で、弟は60×10＝600m先にいる
• 1分で2人の間は180−60＝120m縮む
• 600÷120＝5分後に追いつく

📋 例題3

1周1200mの池の周りを、Aは分速80m、Bは分速70mで、同じ地点から同時に出発します。

（1）反対向きに進むとき、はじめて出会うのは何分後ですか。
（2）同じ向きに進むとき、AがBにはじめて追いつくのは何分後ですか。

🧮 解き方

• （1）2人合わせて1周分進んだときに出会う：1200÷（80＋70）＝8分後
• （2）AがBより1周多く進んだときに追いつく：1200÷（80−70）＝120分後

🔍 この章で押さえること

入試では、基本形をそのまま問う問題より、休憩や往復などの条件を加えた問題が中心になります。ここでは、私が指導の中で繰り返し扱ってきた4つの応用パターンを、基本手順とのつながりがわかるように解説します。

📋 例題4

3100m離れたA地点とB地点から、太郎は分速80mでBへ、花子は分速60mでAへ同時に出発しました。太郎は途中で5分間休みました。2人が出会うのは出発から何分後ですか（太郎の休憩は出会う前に終わっているものとします）。

🧮 解き方

• 太郎が休んでいる5分間は花子だけが進む：60×5＝300m
• 残り3100−300＝2800mを2人で縮める：2800÷（80＋60）＝20分
• 休憩の5分を足して、出発から25分後

確かめ：太郎は80×20＝1600m、花子は60×25＝1500m進み、合計3100mです。

📋 例題5

A地点とB地点は2400m離れています。兄はAから分速70m、弟はBから分速50mで同時に出発し、AB間を往復します（端に着いたらすぐに折り返します）。1回目と2回目に出会うのは、それぞれ出発から何分後ですか。

🧮 解き方

• 1回目：2400÷（70＋50）＝20分後
• 1回目に出会うまでに、2人が進んだ道のりの合計はAB間1本分
• 2回目に出会うまでには、2人合わせてAB間3本分（2400×3＝7200m）進む
• 2回目：7200÷120＝60分後

📌 ダイヤグラムとは

ダイヤグラムは、横軸に時間、縦軸に地点（道のり）をとったグラフです。線が交わる点が「出会い」や「追いつき」を表し、線の傾きが急なほど速く進んでいることを示します。往復や3人以上が登場する問題では、線分図より状況を整理しやすくなります。下の図は例題5をダイヤグラムにしたものです。

📌 比で解く考え方

2人が同時に出発して出会う場合、出会うまでにかかった時間は2人とも同じです。時間が同じなら、進んだ道のりの比は速さの比と等しくなります。

例題5なら、兄と弟の速さの比は70：50＝7：5。1回目に出会うまでに兄が進んだ道のりは、2400×7÷12＝1400mとなり、上の図の交点①と一致します。

🔍 この章で押さえること

旅人算の得点を分けるのは、計算力よりも「状況を図にできるかどうか」です。この章では、私が指導の中で見てきたつまずきの典型と、実際に効果を感じた対処法をお伝えします。

🔍 この章で押さえること

旅人算は、速さの基本ができていないと積み上がらない単元です。この章では、時期ごとの目標と、家庭学習で陥りやすい落とし穴、塾・家庭教師・映像授業の使い分けを整理します。

📊 時期別の目標と取り組み方

具体的な学年は塾のカリキュラムによって異なるため、上の表は順序の目安としてお使いください。

⚖️ 学習手段ごとの特徴

🔍 この章で押さえること

旅人算について、受験生や保護者の方からよく受ける質問をまとめました。習う時期、方程式の扱い、公式の覚え方など、勉強を進めるうえで迷いやすい点にお答えします。

❓ 回答

学校では、現行の小学校学習指導要領で速さは5年生の内容とされています。ただし「旅人算」という名前で出会い・追いかけの問題を体系的に学ぶのは主に中学受験塾で、扱う時期は塾のカリキュラムによって異なります。

❓ 回答

答えを出す手段として方程式を使うこと自体は誤りではありません。ただし中学受験塾のカリキュラムは方程式を使わない解き方で組まれているため、塾で習う線分図や比の解き方と混ざると混乱しやすくなります。小学生のうちは図と比で解ける力を優先し、記述式の答案での扱いは志望校の過去問や学校の説明で確認することをおすすめします。

❓ 回答

「出会いは速さの和、追いかけは速さの差」という関係は覚えて構いませんが、図から自分で導けることが前提です。式の形だけで覚えると、休憩や往復など条件が加わった問題で使えなくなります。

❓ 回答

出会い算・追いかけ算を線分図で安定して解けるようになってから取り入れるのがおすすめです。往復する問題や3人以上が登場する問題、グラフを読み取る問題で特に役立ちます。

❓ 回答

まず1人の速さの問題（速さ・時間・道のりの関係と単位換算）が確実にできるかを確認します。そのうえで、出会い算・追いかけ算の基本問題を「0分後と1分後の図」を描きながら解き直すところから始めてください。

🔍 この章で押さえること

ここまで、旅人算の基本から応用、つまずきの原因と対策までを見てきました。最後に要点を整理し、次に取り組むことを確認します。