中学受験の数の性質｜頻出パターンと解き方を元早稲アカ講師が解説

📋 この記事でわかること

• 中学受験の「数の性質」とは何か、学校の算数とどう違うか
• 約数・倍数・素因数分解・余りの押さえるべき基本
• 入試で頻出の出題パターンと、それぞれの解き方の型
• 元講師として見てきた「伸び悩む子」の共通点
• 学年別の勉強法と、家庭でできるサポート

読み終えるころには、お子さんが今どの段階でつまずいていて、次に何をすればよいかが判断できるようになるはずです。

📌 この章のポイント

「数の性質」と聞いても、具体的に何を学ぶのかイメージしにくい保護者の方は多いと思います。この章では単元の定義と、学校の算数との違い、そしてなぜ入試で差がつくのかを整理します。

🔍 数の性質の定義

中学受験の「数の性質」とは、約数・倍数・素数・余り・偶数と奇数など、整数が持つ決まりを利用して解く問題の総称です。塾によっては「整数の性質」「整数問題」とも呼ばれます。

計算の速さを問う単元ではなく、「どの数がどんな条件を満たすか」を見抜く単元です。そのため、規則性や場合の数など他の単元と組み合わせて出題されることも多く、算数全体の土台になります。

⚖️ 学校と中学受験の扱いの違い

小学校では、文部科学省の学習指導要領に基づき、5年生で偶数・奇数や約数・倍数を学びます。一方、中学受験塾は学校の学年配当とは別に独自の順序でカリキュラムを組んでおり、私が指導してきた生徒も、学校で習う前に塾で一通り扱っているケースがほとんどでした。学年が上がるごとに難度を上げて繰り返し扱うことの多い単元です。具体的な時期は、塾のテキストの目次やカリキュラム表で確認できます。

📌 この章のポイント

応用問題が解けないとき、原因の多くは基本知識の「あいまいさ」にあります。ここでは入試問題を解く前提になる知識を、つまずきやすい点と合わせて確認します。

📋 用語の確認

2つの数について「最大公約数×最小公倍数＝2つの数の積」が成り立ちます（42×252＝84×126＝10584）。この関係は、片方の数を求めさせる問題でよく使います。

🧮 素因数分解の使い方

素数とは、1とその数自身しか約数を持たない数です。1は素数に含めません。1から100までの素数は25個あります。

どんな整数も素数の積に分解できます（素因数分解）。たとえば360は次のようになります。

• 360＝2×2×2×3×3×5＝2³×3²×5
• 約数の個数：（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24個
• 約数の総和：（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）＝15×13×6＝1170

指数に1を足すのは、「2を0回・1回・2回・3回使う」の4通りから選ぶためです。この理由まで理解しておくと、公式を忘れても表を書いて復元できます。

📊 約数の個数が多い数のイメージ

出典：各数の約数をすべて数え上げた当サイトの計算（2026年10月15日）

🔢 倍数判定法の早見表

入試では「□に入る数字を求めよ」のように、判定法を逆向きに使う問題がよく出ます。表を覚えるだけでなく、逆から使えるかを確認しておきましょう。

📋 偶数・奇数と平方数の性質

また、約数の個数が奇数になるのは平方数（同じ数を2回掛けた数）だけです。36の約数は「1と36、2と18、3と12、4と9」の4組に6が1つ加わるので9個になります。この性質は「100以下で約数の個数が奇数の数はいくつあるか（答え：10個）」のような形で問われます。

🔍 余りの基本ルール

余りの問題で最も大切なのは、「割る数で割った余りは、足し算・引き算・掛け算をしても余りどうしで計算できる」という性質です。

• 17÷5は余り2、23÷5は余り3 → 17＋23＝40は、余り2＋3＝5で「5で割り切れる」
• 17×23＝391は、余り2×3＝6 → 6÷5で余り1（391÷5＝78余り1）

この性質を使うと、大きな数を実際に計算しなくても余りだけを求められます。曜日の問題や、ある数の何乗かの一の位を求める問題もこの考え方の応用です。

📌 この章のポイント

数の性質の問題は一見バラバラに見えますが、解き方の「型」はある程度限られています。ここでは代表的なパターンを、解き方の手順と合わせて紹介します。

📋 解き方の手順

📊 1〜100の中の2の倍数・3の倍数

重なり（6の倍数）を1回引き忘れるのが、このタイプで最も多いミスです。図を描いてから式を立てる習慣をつけると、3つの数の倍数に広がっても対応できます。

出典：1〜100の整数を数え上げた当サイトの計算（2026年10月15日）

🔍 考え方

末尾の0は「10＝2×5」が何組作れるかで決まります。2は5より多く含まれるので、5が何個含まれるかを数えれば十分です。

• 1×2×…×100：5の倍数20個＋25の倍数4個＝24個
• 1×2×…×50：5の倍数10個＋25の倍数2個＝12個

25＝5×5のように5を2個含む数を数え忘れるのが典型的なミスです。「5で割る→商をさらに5で割る」と繰り返すと漏れを防げます。

🔍 融合問題の特徴

難度が上がると、数の性質は単独ではなく「数列の何番目か」「カードを並べて作る数が3の倍数になるのは何通りか」のように、規則性や場合の数と組み合わせて出題されます。

この段階では新しい知識はほとんど必要ありません。基本のどの道具を使う問題かを見抜けるかが勝負です。たとえば「3の倍数になる並べ方」は、倍数判定法（各位の和）と場合の数の組み合わせです。

🔍 外部の力を借りる選択肢

数の性質のように「理由」の説明が必要な単元は、保護者の方が教えるとどうしても衝突しやすくなります。塾の授業だけで追いつかない場合は、映像授業で基本を見直す方法や、個別指導・家庭教師で弱点だけを補う方法があります。

映像授業を中学受験にどこまで使えるかはスタサプで中学受験は可能かで検証しています。

個別指導を検討する場合は、個別指導キャンパスの口コミ分析で利用者の声の傾向を確認しておくと判断しやすくなります。

❓ この章のポイント

保護者の方からよくいただく疑問をまとめました。

❓ 回答

小学校の学習指導要領では、偶数・奇数や約数・倍数は5年生で扱う内容です。中学受験塾では学校の進度とは別のカリキュラムで扱うため、学校より先に学ぶことが多い単元です。具体的な時期は通っている塾のカリキュラムで確認してください。

❓ 回答

公式より先に「書き出し」の習慣をつけることをおすすめします。約数を小さい順にペアで書き出す、条件に合う数を小さい方から並べるといった作業を丁寧に行うと、規則が自分で見えるようになり、公式の意味も理解しやすくなります。

❓ 回答

覚えてよい公式ですが、「なぜ指数に1を足して掛けるのか」を樹形図や表で一度確認してから使うことが大切です。理由を理解していないと、約数の総和や条件付きの個数など少し形を変えた問題に対応できなくなります。

❓ 回答

基本パターンを短時間で処理できることに加え、規則性・場合の数・論理と組み合わさった融合問題に慣れることが必要です。ただし出題の比重は学校によって異なるため、志望校の過去問で実際の出方を確認してから対策の重みを決めてください。

❓ 回答

答えの正誤だけでなく、途中の書き出しや式を見て「どこまで合っていたか」を確認することが大切です。また中学で習う方程式や文字式で教えると、塾の解き方と食い違って混乱する場合があります。塾の解説の解き方に合わせることをおすすめします。