正三角形の面積の求め方｜中学受験で√を使わない5つの解法

📋 この記事で解決できる疑問

• なぜ小学生は正三角形の面積を1辺だけで出せないのか
• 中学受験で出る正三角形の面積問題は、どんな解き方をするのか
• 30度の三角形・面積比・正六角形との関係をどう使い分けるのか
• つまずく子にはどこから練習させればよいのか

読み終えるころには、問題文の条件を見て「どの解法を使うか」を判断できるようになるはずです。

📌 この章のポイント

「1辺10cmの正三角形の面積は？」と聞かれて、すぐに答えられる小学生はほとんどいません。それは努力不足ではなく、小学校の算数の範囲では答えが出ないからです。この章では、まず中学受験の正三角形問題がどんな前提で作られているかを整理します。

📌 正三角形の面積の定義

正三角形の面積は、ほかの三角形と同じく「底辺×高さ÷2」で求めます。正三角形とは3つの辺の長さがすべて等しく、3つの角がすべて60度の三角形です。どの辺を底辺にしても高さは同じになります。問題は、この「高さ」が1辺の長さからきれいな数で出てこない点にあります。

📊 正三角形と面積を学ぶ時期

出典：文部科学省「平成29・30・31年改訂 学習指導要領解説」（2026年10月15日参照）をもとに著者作成

🔍 なぜ高さが出せないのか

1辺の長さを1とすると、正三角形の高さは「√3÷2」、つまり0.866…とどこまでも続く小数になります。これを求めるには中学3年で習う平方根や三平方の定理が必要です。小学生にとっては「習っていない道具がないと解けない問題」なので、入試ではこの壁を避けるように出題が工夫されています。

🔍 出題の典型パターン

• 高さを問題文で与える（例：1辺10cm・高さ8.66cm）
• 正三角形を半分にした形から別の三角形の高さを求めさせる
• 面積比で「何倍か」「何分のいくつか」を答えさせる
• 正三角形の面積を与えて、分割した部分の面積を求めさせる

つまり、問われているのは計算力より「正三角形の性質を使えるか」です。算数全体の学年別の進め方は中学受験算数の学年別勉強法で詳しく解説しています。

📌 この章のポイント

ここからは実際の解き方です。5つの型はどれも小学校の範囲で解けるもので、入試の平面図形で繰り返し使われます。例題の数値は説明用に私が作成したものです。

🧮 例題①　高さが与えられる型

1辺10cm、高さ8.66cmの正三角形の面積を求めなさい。

最も基本の型ですが、「高さ8.66cm」のような小数はかけ算のミスが起きやすいところです。÷2を先にして「5×8.66」とすると計算が楽になります。

📌 30度・60度・90度の直角三角形

正三角形を高さの線で半分に切ると、30度・60度・90度の直角三角形ができます。三角定規でおなじみの形です。この三角形では「いちばん短い辺は、いちばん長い辺（斜辺）のちょうど半分」になります。正三角形の1辺が斜辺、半分にした底辺が短い辺にあたるからです。

🧮 例題②　頂角30度の二等辺三角形

等しい2辺が10cm、その間の角が30度の二等辺三角形の面積を求めなさい。

一般に、2辺がa・bでその間の角が30度なら、面積は「a×b÷4」になります。間の角が150度のときも、辺を延長して垂線を下ろすと同じく高さは斜辺の半分になるため、面積は「a×b÷4」です。

📊 1辺の比と面積の比

正三角形はすべて同じ形（相似）なので、1辺が2倍なら面積は4倍、3倍なら9倍になります。面積そのものが出せなくても「何倍か」は確実に答えられます。

たとえば「1辺6cmの正三角形の面積が15.6cm²のとき、1辺2cmの正三角形の面積は？」なら、面積比1：9より15.6÷9≒1.73cm²と求められます。

🔍 分割して数える考え方

• 各辺の中点を結ぶと、合同な正三角形4つに分かれる（真ん中は全体の4分の1）
• 1辺をn等分して平行線を引くと、小さな正三角形がn×n個できる
• 正六角形は、中心と各頂点を結ぶと正三角形6個分
• 正六角形の頂点を1つおきに結んだ三角形は、正六角形の面積のちょうど半分

例：面積24cm²の正六角形なら、中心で分けた正三角形1つは24÷6＝4cm²です。こうした「何個分か」で考える方法は、より複雑な平面図形の問題を解くときの土台にもなります。入試問題全体の難しさや傾向は中学受験の問題の出題傾向でまとめています。

📌 この章のポイント

5つの解法を知っていても、どれを使うか迷うと手が止まります。ここでは問題文のどこを見れば解法が決まるかを整理します。

⚖️ 問題文の条件と解法

🔢 参考：1辺の長さと面積のおよその値

中学3年で学ぶ「√3÷4×1辺×1辺」で計算し、四捨五入した値（著者計算）。

❓ よくある質問

保護者の方や受験生からよく聞かれる疑問をまとめました。

❓ Q1の回答

A. 小学校の範囲では、1辺の長さだけから正確な面積を出すことはできません。正確な高さを求めるには中学3年で習う平方根が必要だからです。そのため中学受験では、高さを問題文で与えるか、面積比や分割を使って別の図形と比べる形で出題されるのが一般的です。

❓ Q2の回答

A. √を使った解答が正解として扱われるかは学校ごとの採点基準によるため、一律には言えません。中学受験の問題は小学校の範囲で解けるように作られているので、√を使わない解き方を身につけておくのが安全です。

❓ Q3の回答

A. 正三角形の高さは1辺の約0.866倍です。ただし小学校の範囲外の値なので、答えを出すためではなく、検算や概算の目安として使うのがおすすめです。

❓ Q4の回答

A. 暗記してもかまいませんが、正三角形を半分にした三角定規の形から導けることが前提です。導き方を理解していれば、150度の三角形など形が変わった問題にも対応できます。

❓ Q5の回答

A. 学校では小学3年で正三角形、小学5年で三角形の面積を学びます。中学受験塾では学校より早いペースで扱うことが多いため、通っている塾のカリキュラムに合わせ、三角形の面積を学んだ後に応用として練習するのが自然です。

📋 練習の順番