パップスギュルダンの定理とは？中学受験の使い方を元塾講師が解説

🔍 こんな疑問を解決します

「塾の先輩がパップスギュルダンの定理を使えば一瞬と言っていたけれど、本当に使っていいの？」と気になっていませんか。回転体は図をイメージしにくく、苦手意識を持つ受験生が多い単元です。

• パップスギュルダンの定理とは何か、どんな問題で使えるのか
• 前提になる「重心」はどう求めるのか
• 入試の答案で使ってよいのか、記述式ではどうするか
• 使えない図形やよくあるミスは何か

📌 この章でわかること

そもそも、なぜ「面積×距離」で体積が出るのでしょうか。この章では定理の中身と、中学受験の回転体の問題とのつながりを確認します。

📋 定理の内容

パップスギュルダンの定理とは、平面図形を、その図形と交わらない直線（回転軸）のまわりに1回転させてできる立体の体積は、「図形の面積×図形の重心が1周する長さ」に等しいという定理です。

📚 名前の由来

名前は、古代アレクサンドリアの数学者パップスと、17世紀の数学者ギュルダンに由来します。パップスが著作の中で述べた内容を、のちにギュルダンが独立に再発見したとされることから、2人の名前を並べて呼ばれています。

中学校で回転体の体積を本格的に学ぶのは中学1年の空間図形、三角形の重心は高校数学A「図形の性質」で扱う内容です（文部科学省「学習指導要領」）。定理そのものは学校の教科書の標準的な範囲には入っておらず、中学受験では塾や参考書で「発展的な解き方」として紹介されることが多い位置づけです。

🔍 回転体の典型パターン

中学受験の回転体は、長方形・直角三角形・台形などを1本の直線のまわりに回転させ、できた立体の体積や表面積を求める問題が中心です。図形が軸にくっついている場合は円柱や円すいになり、軸から離れている場合は「ドーナツ型」や「くり抜かれた立体」になります。

パップスギュルダンの定理が特に威力を発揮するのは、後者の軸から離れた図形を回転させる問題です。中学受験の算数の難しさが学校の算数とどう違うのかは、中学受験の問題の難易度と出題傾向で詳しく解説しています。

📌 この章でわかること

定理を使えるかどうかは、重心を正しく見つけられるかにかかっています。中学受験で必要な重心は、実は3種類だけです。

📋 長方形の重心

長方形や正方形の重心は、対角線の交点（図形のちょうど真ん中）です。軸までの距離は「軸から近い辺までの距離＋横の長さの半分」で求まります。

📋 三角形の重心

三角形の重心は、3本の中線（頂点と向かいの辺の真ん中を結ぶ線）が交わる点で、各中線を頂点側から2：1に分けます。

中学受験で便利なのは、座標のように考える方法です。軸から3つの頂点までの距離をそれぞれ測り、その3つを足して3で割ると、重心から軸までの距離になります。直角三角形なら、軸に平行な辺から見て、もう一方の辺の長さの3分の1の位置に重心があります。

📌 この章でわかること

実際にどのくらい計算が短くなるのでしょうか。手順を確認したあと、易しい順に3問を解き、すべて通常の解き方でも答えが一致することを確かめます。

🔰 解き方の手順

🧮 例題1

直角をはさむ2辺が3cm（軸上）と4cmの直角三角形を、3cmの辺を軸に1回転させた立体の体積を求めます。

この問題は通常の解き方のほうが速いですが、定理が正しく働くことを確かめる練習として最適です。

🧮 例題2

横2cm・縦3cmの長方形を、長方形から左に1cm離れた縦の直線を軸に1回転させた立体の体積を求めます。

🧮 例題3

直角をはさむ2辺が底辺3cm・高さ4cmの直角三角形があり、高さの辺が軸から2cm離れています（3つの頂点から軸までの距離は2cm・5cm・2cm）。この三角形を軸のまわりに1回転させた立体の体積を求めます。

定理：面積は3×4÷2＝6cm²。重心から軸までは（2＋5＋2）÷3＝3cm。体積は6×3×2×3.14＝36×3.14＝113.04cm³です。

通常：斜辺を延長して大きな円すいを作り、そこから円柱と小さな円すいを引きます。大きな円すい（半径5cm・高さ20/3cm）は500/9×3.14、円柱（半径2cm・高さ4cm）は16×3.14、小さな円すい（半径2cm・高さ8/3cm）は32/9×3.14なので、500/9−16−32/9＝36。答えは同じく36×3.14＝113.04cm³です。

📊 例題3の2つの解き方を比べる

📌 この章でわかること

便利なのはわかったけれど、入試で使って減点されないか不安という声は少なくありません。答えの形式ごとに判断の目安を整理します。

⚖️ 答案形式別の判断目安

途中式を書かせる問題で、定理名だけを根拠にした答案をどう採点するかは学校ごとに異なり、公表されていないことがほとんどです。志望校の答案形式は、過去問の解き方と復習法を参考に、実際の過去問の解答用紙で確認しておきましょう。

🆚 2つの解き方の比較

📌 この章でわかること

便利な道具ほど、使えない場面を知らないと大きな失点につながります。ここでは定理の限界と、受験生が実際にやりがちな誤りをまとめます。

📌 この章でわかること

受験生や保護者の方から出やすい疑問を6つに絞って回答します。

❓ 回答

「面積×重心が1周する長さ」という使い方だけなら、円柱や円すいの体積を求められる小学生であれば理解できます。ただし、なぜ成り立つのかの証明は高校数学で学ぶ積分を使うため、小学生は結果だけを道具として使う形になります。

❓ 回答

回転体の見取り図を自分で描き、通常の解き方で体積を出せるようになってからがよいと考えます。多くの場合は小学6年生の演習期以降で、検算の道具として取り入れるのが安全です。

❓ 回答

答えだけを書く形式なら問題ありません。途中式を書かせる記述式で定理名だけを書いた場合の採点方針は学校ごとに異なり、公表されていないことがほとんどです。記述式では円柱・円すいに分ける通常の解き方で書くほうが無難です。

❓ 回答

理論上は使えますが、半円の重心の位置を求めるのに円周率を含む計算が必要になり、小学生の範囲を超えます。球の体積は「半径×半径×半径×3.14×4÷3」の公式で求めるのが現実的です。

❓ 回答

使えます。回転させる線の長さ×線の重心が1周する長さで、その線が作る曲面の面積が求まります。たとえば円すいの側面積は母線の長さ×母線の真ん中の点が1周する長さで求まり、「母線×半径×3.14」と一致します。ただし底面など回転で作られない面は別に足す必要があります。

❓ 回答

知らなくても回転体の問題は通常の解き方ですべて解けます。定理はあくまで時短と検算の道具なので、まずは通常の解き方を確実にすることが優先です。

📌 この章でわかること

定理を知ったあと、何から手をつければよいのでしょうか。今日から家庭で取り組める順番を紹介します。

🔰 練習の順番

📋 この定理の使い方が向いている人・向いていない人